Sejam, g: R^2 R^3, uma transformação linear. E=(1,-1),(0,2) e F=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) bases de R^2 e R^3 respectivamente. Sendo [T]F^E=[cc1 & 0 1 & 1 0 & -1], ache g(x, y);

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma transformação linear . Nos são dadas duas bases: para e para . Também temos a matriz da transformação linear . Nosso objetivo é encontrar a expressão de .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a matriz . Essa matriz representa a transformação linear com relação às bases e . Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base na base .

Passo 3

Vamos identificar os vetores das bases:
  • Base de : e .
  • Base de : , , e .

Passo 4

A matriz [T]F^E = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 é dada por:
Cada coluna desta matriz representa as coordenadas das imagens dos vetores da base na base .

Passo 5

Vamos encontrar as imagens dos vetores da base g(v1) = 1w1 + 1w2 + 0w3 sob a transformação g(v2) = 0w1 + 1w2 -1w3 . Vamos chamar e .
A partir da matriz , temos:

Passo 6

Agora, substituímos os vetores de g(v1) = 1(1,0,-1) + 1(0,1,2) + 0(1,2,0) = (1+0+0, 0+1+0, -1+2+0) = (1,1,1) :
g(v2) = 0(1,0,-1) + 1(0,1,2) -1(1,2,0) = (0+0-1, 0+1-2, 0+2-0) = (-1,-1,2)

Passo 7

Agora, sabemos como a transformação g(1, -1) = (1,1,1) age nos vetores da base g(0, 2) = (-1,-1,2) :
Precisamos expressar para um vetor arbitrário em .

Passo 8

Como (x, y) = c1(1, -1) + c2(0, 2) é uma base de x = c1 cdot 1 + c2 cdot 0 Rightarrow c1 = x , qualquer vetor y = c1 cdot (-1) + c2 cdot 2 Rightarrow -x + 2c2 = y Rightarrow c2 = x + y2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores de :
Resolvendo para e :

Passo 9

Aplicando a transformação g(x, y) = g(c1v1 + c2v2) = c1g(v1) + c2g(v2) :
= x(1,1,1) + x + y2(-1,-1,2)

Passo 10

Calculando a combinação linear:
g(x, y) = ( x cdot 1 + x + y2 cdot (-1),, x cdot 1 + x + y2 cdot (-1),, x cdot 1 + x + y2 cdot 2 )
= ( x - x + y2,, x - x + y2,, x + (x + y) )
= ( 2x - x - y2,, 2x - x - y2,, 2x + y )
= ( x - y2,, x - y2,, 2x + y )

Resposta

A transformação linear g(x, y) = ( x - y2,, x - y2,, 2x + y ) é dada por:

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