Sejam, , uma transformação linear. e bases de e respectivamente. Sendo , ache g(x, y);
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma transformação linear . Nos são dadas duas bases: para e para . Também temos a matriz da transformação linear . Nosso objetivo é encontrar a expressão de .
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a matriz . Essa matriz representa a transformação linear com relação às bases e . Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base na base .
Passo 3
Vamos identificar os vetores das bases:
Base de : e .
Base de : , , e .
Passo 4
A matriz [T]F^E = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 é dada por:
Cada coluna desta matriz representa as coordenadas das imagens dos vetores da base na base .
Passo 5
Vamos encontrar as imagens dos vetores da base g(v1) = 1w1 + 1w2 + 0w3 sob a transformação g(v2) = 0w1 + 1w2 -1w3 . Vamos chamar e .
A partir da matriz , temos:
Passo 6
Agora, substituímos os vetores de g(v1) = 1(1,0,-1) + 1(0,1,2) + 0(1,2,0) = (1+0+0, 0+1+0, -1+2+0) = (1,1,1) :
Agora, sabemos como a transformação g(1, -1) = (1,1,1) age nos vetores da base g(0, 2) = (-1,-1,2) :
Precisamos expressar para um vetor arbitrário em .
Passo 8
Como (x, y) = c1(1, -1) + c2(0, 2) é uma base de x = c1 cdot 1 + c2 cdot 0 Rightarrow c1 = x , qualquer vetor y = c1 cdot (-1) + c2 cdot 2 Rightarrow -x + 2c2 = y Rightarrow c2 = x + y2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores de :