Ache um polinômio z=f(x, y) que satisfaça as equações partial fpartial x(x, y)=3 x^2+y^2+2 y e partial fpartial y(x, y)= 2 x y+2 y.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrarmos um polinômio partial fpartial x(x, y) = 3x^2 + y^2 + 2y que satisfaça duas equações de derivadas parciais:
partial fpartial y(x, y) = 2xy + 2y
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a integração de derivadas parciais, para descobrir o polinômio .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a derivada parcial de partial fpartial x = 3x^2 + y^2 + 2y em relação a f(x, y) = integral (3x^2 + y^2 + 2y) , dx = integral 3x^2 , dx + integral y^2 , dx + integral 2y , dx para encontrar uma parte de f(x, y) = x^3 + y^2x + 2y x + g(y) . Isso significa que vamos integrar:
Integrando termo a termo em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e surge como constante de integração na integração em relação a .

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda equação da derivada parcial para encontrar partial fpartial y = 2xy + 2y . Sabemos que:
partial fpartial y = partialpartial y (x^3 + y^2x + 2y x + g(y)) = 2xy + 2x + g'(y)
Vamos derivar 2xy + 2x + g'(y) = 2xy + 2y em relação a 2x + g'(y) = 2y :
g'(y) = 2y - 2x
Comparando com a equação dada:
partial fpartial y = partialpartial y (x^3 + y^2x + 2y x + g(y)) = 2xy + 2x + g'(y)
Simplificando, temos:
2xy + 2x + g'(y) = 2xy + 2y
Isolando 2x + g'(y) = 2y :
2x = 0 Rightarrow Não há solução a não ser que x = 0
No entanto, perceba que deve depender apenas de , mas temos um termo com . Isso indica que houve um erro na derivação. Vamos revisar:
Na verdade, ao derivar em relação a :
Comparando com :
Agora, subtraindo de ambos os lados:
Para que isso seja verdade para todos os e , o único jeito é que o coeficiente de seja zero. Isso significa que:
ãáçãã
Parece que houve um erro na formulação do problema ou nas derivadas fornecidas. Vamos verificar as derivadas parciais novamente.

Passo 4

Revisando as derivadas parciais fornecidas:
partial fpartial x = 3x^2 + y^2 + 2y
partial fpartial y = 2xy + 2y
Vamos integrar a primeira equação novamente:
f(x, y) = integral (3x^2 + y^2 + 2y) , dx = x^3 + y^2x + 2y x + g(y)
Agora, derivando em relação a partial fpartial y = 2yx + 2x + g'(y) :
2yx + 2x + g'(y) = 2xy + 2y
Comparando com a dada 2x + g'(y) = 2y :
g'(y) = 2y - 2x
Simplificando:
Isso implica que:
Mas deve depender apenas de , o que só é possível se o termo for zero. Portanto, para que exista uma solução, o termo deve ser eliminado, o que sugere que o problema pode não ter uma solução polinomial que satisfaça ambas as derivadas parciais dadas.

Resposta

Não há um polinômio que satisfaça simultaneamente as derivadas parciais fornecidas. As condições apresentadas são inconsistentes, impossibilitando a existência de tal polinômio.

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