(CAEN) Seja f(x)=x^48+x^-24, o valor de integral1^2 raiz1+[f^prime(x)]^2 d x é:
(a) 1116
(b) 1716
© 2
(d) 3316
(e) 178

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos calcular a integral . Isso está relacionado ao cálculo do comprimento de arco de uma curva no intervalo de a . Para resolver isso, vamos precisar encontrar a derivada da função, elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar esse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) = x^48 + x^-24 . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, e é essencial para calcular o comprimento do arco.
A função é:
f^prime(x) = ddx(x^48) + ddx(x^-24) = 4x^38 + -2x^-34
Derivando termo a termo:
f^prime(x) = x^32 - 12x^3
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular [f^prime(x)]^2 = (x^32 - 12x^3)^2 = (x^32)^2 - 2 cdot x^32 cdot 12x^3 + (12x^3)^2 :
(x^32)^2 = x^64, -2 cdot x^32 cdot 12x^3 = -12, (12x^3)^2 = 14x^6
Calculando cada termo:
[f^prime(x)]^2 = x^64 - 12 + 14x^6
Então:

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão dentro da raiz da integral do comprimento de arco:
1 + [f^prime(x)]^2 = 1 + x^64 - 12 + 14x^6 = x^64 + 12 + 14x^6
Podemos reescrever isso como:
x^64 + 12 + 14x^6 = 14(x^6 + 2 + 1x^6)
Perceba que 1 + [f^prime(x)]^2 = 14(x^3 + 1x^3)^2 , então:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a raiz quadrada:
raiz1 + [f^prime(x)]^2 = raiz14(x^3 + 1x^3)^2 = 12|x^3 + 1x^3|
Como raiz1 + [f^prime(x)]^2 = 12(x^3 + 1x^3) está entre 1 e 2, o valor dentro do valor absoluto é positivo, então podemos remover o módulo:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de integral1^2 raiz1 + [f^prime(x)]^2 , dx = integral1^2 12(x^3 + 1x^3) dx = 12 integral1^2 (x^3 + 1x^3) dx a 12 [ x^44 - 12x^2 ]1^2 :
12 ( 2^44 - 12 cdot 2^2 ) = 12 ( 164 - 18 ) = 12 ( 4 - 18 ) = 12 cdot 318 = 3116
Integrando termo a termo:
12 ( 1^44 - 12 cdot 1^2 ) = 12 ( 14 - 12 ) = 12 ( -14 ) = -18
Calculando nos limites:
Para 3116 - (-18) = 3116 + 18 = 3116 + 216 = 3316 :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A resposta correta é a opção (d) .

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