(CAEN) Seja , o valor de é:
(a)
(b)
© 2
(d)
(e)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos calcular a integral . Isso está relacionado ao cálculo do comprimento de arco de uma curva no intervalo de a . Para resolver isso, vamos precisar encontrar a derivada da função, elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar esse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, e é essencial para calcular o comprimento do arco.
A função é:
Derivando termo a termo:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Calculando cada termo:
Então:

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão dentro da raiz da integral do comprimento de arco:
Podemos reescrever isso como:
Perceba que , então:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a raiz quadrada:
Como está entre 1 e 2, o valor dentro do valor absoluto é positivo, então podemos remover o módulo:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A resposta correta é a opção (d) .

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Construa o gráfico das seguintes funções exponenciais, onde e representa o Número de Euler :
(a)
Construa o gráfico das seguintes funções exponenciais:
(d)
Uma partícula desloca-se sobre o eixo com velocidade . Calcule o espaço percorrido entre os instantes e .
Ache um polinômio que satisfaça as equações e .