Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos calcular a integral . Isso está relacionado ao cálculo do comprimento de arco de uma curva no intervalo de a . Para resolver isso, vamos precisar encontrar a derivada da função, elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e então integrar esse resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, e é essencial para calcular o comprimento do arco.
A função é:
Derivando termo a termo:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular :
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão dentro da raiz da integral do comprimento de arco:
Podemos reescrever isso como:
Perceba que , então:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a raiz quadrada:
Como está entre 1 e 2, o valor dentro do valor absoluto é positivo, então podemos remover o módulo: