Calcule (usando fórmulas de derivação conhecidas ou o significado geométrico)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida: . A gente vai usar as fórmulas de antiderivação para funções trigonométricas. Precisaremos saber como integrar cosseno e seno com coeficientes diferentes dentro deles.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso funciona porque a integral de uma soma é a soma das integrais.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como integrar cosseno e seno. A antiderivada de
é e a de é
.
Passo 4
Aplicando essas antiderivadas:
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites de integração para cada parte:
Passo 6
Calculando cada parte:
Para :
Sabemos que e , então:
Para
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Agora, somando as duas partes:
Resposta
O valor da integral é
.
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e
.
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e
.
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;