Calcule (usando fórmulas de derivação conhecidas ou o significado geométrico)
integral-pi6^pi2(cos 2 x+sen 5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . A gente vai usar as fórmulas de antiderivação para funções trigonométricas. Precisaremos saber como integrar cosseno e seno com coeficientes diferentes dentro deles.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso funciona porque a integral de uma soma é a soma das integrais.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como integrar cosseno e seno. A antiderivada de é e a de é .

Passo 4

Aplicando essas antiderivadas:

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração para cada parte:

Passo 6

Calculando cada parte:
Para :
Sabemos que e , então:
sen (2 cdot pi2)2 - sen (2 cdot -pi6)2 = sen pi2 - sen (-pi3)2
Para 0 - ( -raiz34 ) = raiz34 :
-cos (5 cdot pi2)5 - ( -cos (5 cdot -pi6)5 ) = -cos 5pi25 + cos (-5pi6)5
Sabemos que -0 + ( -raiz310 ) = -raiz310 e , então:

Passo 7

Agora, somando as duas partes:
raiz34 - raiz310 = 5raiz3 - 2raiz320 = 3raiz320

Resposta

O valor da integral é .

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