Calcule (usando integração por partes)
integral0^pi2 x^2 sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse exercício faz parte da matéria de cálculo, especificamente do tópico de integrais. Para resolver, vamos precisar entender a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx e qual será dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x) . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada.
Vamos escolher:

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral0^pi2 x^2 sin(x) , dx = -x^2 cos(x) |0^pi2 + integral0^pi2 2x cos(x) , dx
Vamos calcular a primeira parte:
-x^2 cos(x) |0^pi2 = -((pi2)^2 cos(pi2)) + 0 = -(pi^24 cdot 0) + 0 = 0
Então, a integral fica:
integral0^pi2 x^2 sin(x) , dx = 0 + integral0^pi2 2x cos(x) , dx = 2 integral0^pi2 x cos(x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver u = x Rightarrow du = dx usando novamente a integração por partes.
Escolhemos:
dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sin(x)
integral x cos(x) , dx = x sin(x) - integral sin(x) , dx
Aplicando a fórmula:
= x sin(x) + cos(x) + C

Passo 5

Voltando à nossa expressão anterior:
2 integral0^pi2 x cos(x) , dx = 2 [ x sin(x) + cos(x) |0^pi2 ]
Vamos calcular os limites:
Quando pi2 sin(pi2) + cos(pi2) = pi2 cdot 1 + 0 = pi2 :
0 cdot sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1
Quando 2 ( pi2 - 1 ) = pi - 2 :
Portanto:

Resposta

integral0^pi2 x^2 sin(x) , dx = pi - 2

Exercícios relacionados