Calcule (usando integração por partes)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse exercício faz parte da matéria de cálculo, especificamente do tópico de integrais. Para resolver, vamos precisar entender a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada.
Vamos escolher:

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Vamos calcular a primeira parte:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos resolver usando novamente a integração por partes.
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Voltando à nossa expressão anterior:
Vamos calcular os limites:
Quando :
Quando :
Portanto:

Resposta

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(a)