Uma partícula desloca-se sobre o eixo com velocidade . Calcule o espaço percorrido entre os instantes e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que uma partícula está se movendo ao longo do eixo com uma velocidade dada por , onde é o tempo em segundos e . Nosso objetivo aqui é calcular o espaço (ou distância) que essa partícula percorre entre os instantes e segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar a distância total percorrida.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a distância percorrida por uma partícula em um intervalo de tempo pode ser calculada integrando o valor absoluto da velocidade ao longo desse intervalo. Isso porque a velocidade pode ser positiva ou negativa, dependendo da direção do movimento, e queremos a distância total percorrida, independentemente da direção.
Matematicamente, a distância é dada por:
No nosso caso, e , então:

Passo 3

Antes de prosseguir com a integral, é importante verificar se a velocidade muda de sinal no intervalo [0, 2]. Se sim, isso significa que a partícula muda de direção, e precisamos dividir a integral nesses pontos.
Vamos encontrar quando :
Como , no intervalo de a , a velocidade não muda de sinal. Portanto, é sempre positiva ou zero nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, podemos eliminar o valor absoluto na integral, já que para :
Agora, vamos resolver a integral.

Passo 5

Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 2:

Resposta

A distância percorrida pela partícula entre e segundos é de 8 unidades.

Exercícios relacionados

(CAEN) Seja , o valor de é:
(a)
(b)
© 2
(d)
(e)
Construa o gráfico das seguintes funções exponenciais, onde e representa o Número de Euler :
(a)
Ache um polinômio que satisfaça as equações e .
Calcule (usando fórmulas de derivação conhecidas ou o significado geométrico)