Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com velocidade
. Calcule o espaço percorrido entre os instantes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que uma partícula está se movendo ao longo do eixo
com uma velocidade dada por
, onde
é o tempo em segundos e
. Nosso objetivo aqui é calcular o espaço (ou distância) que essa partícula percorre entre os instantes
e
segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar a distância total percorrida.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a distância percorrida por uma partícula em um intervalo de tempo pode ser calculada integrando o valor absoluto da velocidade ao longo desse intervalo. Isso porque a velocidade pode ser positiva ou negativa, dependendo da direção do movimento, e queremos a distância total percorrida, independentemente da direção.
Matematicamente, a distância
é dada por:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 3
Antes de prosseguir com a integral, é importante verificar se a velocidade
muda de sinal no intervalo [0, 2]. Se sim, isso significa que a partícula muda de direção, e precisamos dividir a integral nesses pontos.
Vamos encontrar quando
:
Como
, no intervalo de
a
, a velocidade não muda de sinal. Portanto,
é sempre positiva ou zero nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, podemos eliminar o valor absoluto na integral, já que
para
:
Agora, vamos resolver a integral.
Passo 5
Integrando termo a termo:
Passo 6
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 2:
Resposta
A distância percorrida pela partícula entre
e
segundos é de 8 unidades.
Exercícios relacionados
(CAEN) Seja
, o valor de
é:
(a)
(b)
© 2
(d)
(e)
(a)
(b)
© 2
(d)
(e)
Construa o gráfico das seguintes funções exponenciais, onde e representa o Número de Euler
:
(a)
(a)
Ache um polinômio
que satisfaça as equações
e
.
Calcule (usando fórmulas de derivação conhecidas ou o significado geométrico)