Esboce o gráfico de uma função diferenciável
sabendo que:
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente sobre derivadas e gráficos de funções diferenciáveis. A gente precisa esboçar o gráfico de uma função
sabendo de várias informações sobre seus valores e suas derivadas em pontos específicos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas primeira e segunda, entendendo onde a função está crescendo ou diminuindo, e onde tem máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os pontos onde a derivada primeira,
, é igual a zero. Esses pontos são importantes porque podem ser pontos de máximo, mínimo ou pontos de inflexão. No nosso caso, sabemos que
e
. Vamos anotar esses pontos e analisar o comportamento da função nesses locais.
Passo 3
Vamos verificar o sinal da derivada em cada intervalo definido pelos pontos críticos
e
:
- Para
, : Isso significa que a função está crescendo nesse intervalo. - Para
, : Aqui, a função está decrescendo. - Para
, : A função volta a crescer.
Passo 4
Agora, vamos analisar a concavidade da função usando a derivada segunda,
:
- Em
, : Isso indica que a função tem uma concavidade para baixo nesse ponto, sugerindo um ponto de máximo. - Em
, : Aqui, a função tem uma concavidade para cima, indicando um ponto de mínimo.
Passo 5
Vamos resumir os pontos que já identificamos:
-
Pontos críticos:
-
: ponto de máximo. -
: ponto de mínimo.
-
-
Comportamento da função:
- Crescendo em
e . - Decrescendo em
.
- Crescendo em
-
Valores específicos:
-
Passo 6
Vamos plotar esses pontos no gráfico:
- Em
, e é um ponto de máximo. - Em
, . - Em
, e é um ponto de mínimo. - Em
, .
Passo 7
Com base no comportamento da função e nos pontos plotados, podemos esboçar o gráfico:
- Começamos com a função crescendo até
, onde atinge um máximo de . - Depois, a função começa a decrescer até
, onde atinge um mínimo abaixo de . - Finalmente, a função volta a crescer após
, passando por .
Resposta
O gráfico de
apresenta um máximo local em
com
, decresce até
onde ocorre um mínimo local com
, e então cresce novamente para
, passando pelo ponto
. A função está crescendo em
e
, e decrescendo em
.