Esboce o gráfico de uma função diferenciável f(x) sabendo que:
l f^prime(-3)<0, f(-1)=136, f(0)=1, f(2)<-2, f(4)>5 ; f^prime(-1)=0, f^prime(2)=0 f^prime(x)>0 em(-infty,-1) f^prime(x)<0 em(-1,2) f^prime(x)>0 em(2, infty) f^prime prime(-1)<0 f^prime prime(2)>0

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente sobre derivadas e gráficos de funções diferenciáveis. A gente precisa esboçar o gráfico de uma função sabendo de várias informações sobre seus valores e suas derivadas em pontos específicos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas primeira e segunda, entendendo onde a função está crescendo ou diminuindo, e onde tem máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os pontos onde a derivada primeira, , é igual a zero. Esses pontos são importantes porque podem ser pontos de máximo, mínimo ou pontos de inflexão. No nosso caso, sabemos que e . Vamos anotar esses pontos e analisar o comportamento da função nesses locais.

Passo 3

Vamos verificar o sinal da derivada em cada intervalo definido pelos pontos críticos e :
  • Para , : Isso significa que a função está crescendo nesse intervalo.
  • Para , : Aqui, a função está decrescendo.
  • Para , : A função volta a crescer.

Passo 4

Agora, vamos analisar a concavidade da função usando a derivada segunda, :
  • Em , : Isso indica que a função tem uma concavidade para baixo nesse ponto, sugerindo um ponto de máximo.
  • Em , : Aqui, a função tem uma concavidade para cima, indicando um ponto de mínimo.

Passo 5

Vamos resumir os pontos que já identificamos:
  • Pontos críticos:
    • : ponto de máximo.
    • : ponto de mínimo.
  • Comportamento da função:
    • Crescendo em e .
    • Decrescendo em .
  • Valores específicos:

Passo 6

Vamos plotar esses pontos no gráfico:
  • Em , e é um ponto de máximo.
  • Em , .
  • Em , e é um ponto de mínimo.
  • Em , .

Passo 7

Com base no comportamento da função e nos pontos plotados, podemos esboçar o gráfico:
  1. Começamos com a função crescendo até , onde atinge um máximo de .
  2. Depois, a função começa a decrescer até , onde atinge um mínimo abaixo de .
  3. Finalmente, a função volta a crescer após , passando por .

Resposta

O gráfico de apresenta um máximo local em com , decresce até onde ocorre um mínimo local com , e então cresce novamente para , passando pelo ponto . A função está crescendo em e , e decrescendo em .

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