Determine os números críticos de
no intervalo dado e esboce o gráfico de
evidenciando o comportamento da função através de suas derivadas:
em
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar os números críticos da função
no intervalo
. Além disso, precisamos desenhar os gráficos de
, sua primeira derivada
e sua segunda derivada
, mostrando como a função se comporta com base nessas derivadas.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas. Vamos passo a passo encontrar onde a derivada primeira é zero ou não existe (que são os números críticos) e depois esboçar os gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela, ou seja, sua inclinação em cada ponto.
A função dada é:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de uma constante (4) é 0
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os números críticos. Esses são os valores de
onde a derivada primeira é zero ou não existe. Como nossa derivada
é um polinômio, ela existe para todos os valores de
, então apenas precisamos resolver:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas raízes reais.
Calculando as raízes:
Então:
Portanto, os números críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
, que nos ajuda a entender a concavidade da função e identificar pontos de inflexão.
Derivando novamente
:
A segunda derivada é:
Passo 5
Vamos resumir o que encontramos até agora:
- Função original:
- Primeira derivada:
- Números críticos:
e - Segunda derivada:
Com isso, podemos analisar o comportamento da função nos pontos críticos usando a segunda derivada para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 6
Vamos analisar cada número crítico:
-
Para
: Como, isso indica que a função tem um máximo relativo nesse ponto. -
Para
: Como, isso indica que a função tem um mínimo relativo nesse ponto.
Passo 7
Agora, vamos esboçar os gráficos de
,
e
no intervalo
.
Embora eu não possa desenhar os gráficos aqui, vou descrever como eles se comportam:
-
Gráfico de
: - É uma curva cúbica (grau 3) que vai se estendendo para
positivos e negativos. - Tem um máximo em
e um mínimo em . - No intervalo
, a função se eleva e se abaixa conforme os pontos críticos.
- É uma curva cúbica (grau 3) que vai se estendendo para
-
Gráfico de
: - É uma parábola (grau 2) representando a taxa de variação de
. - A parábola intercepta o eixo
nos pontos críticos e . - O sinal de
indica onde a função está aumentando ou diminuindo.
- É uma parábola (grau 2) representando a taxa de variação de
-
Gráfico de
: - É uma reta (grau 1) linear.
- A inclinação positiva indica que a concavidade de
muda conforme aumenta. - Onde
, há um ponto de inflexão na função .
Resposta
Os números críticos da função
no intervalo
são
(máximo relativo) e
(mínimo relativo). Além disso, os gráficos de
,
e
evidenciam o comportamento da função através de suas derivadas, mostrando os pontos de máximo, mínimo e a concavidade da curva dentro do intervalo analisado.