Determine os números críticos de f(x) no intervalo dado e esboce o gráfico de f, f', f'' evidenciando o comportamento da função através de suas derivadas:
g(t) = 2t^3 + t^2 - 20t + 4 em [-10,10]

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar os números críticos da função no intervalo . Além disso, precisamos desenhar os gráficos de , sua primeira derivada e sua segunda derivada , mostrando como a função se comporta com base nessas derivadas.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas. Vamos passo a passo encontrar onde a derivada primeira é zero ou não existe (que são os números críticos) e depois esboçar os gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela, ou seja, sua inclinação em cada ponto.
A função dada é:
Derivando termo a termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de uma constante (4) é 0
Então, a primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os números críticos. Esses são os valores de onde a derivada primeira é zero ou não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela existe para todos os valores de , então apenas precisamos resolver:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais.
Calculando as raízes:
Então:
Portanto, os números críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada , que nos ajuda a entender a concavidade da função e identificar pontos de inflexão.
Derivando novamente :
A segunda derivada é:

Passo 5

Vamos resumir o que encontramos até agora:
  • Função original:
  • Primeira derivada:
  • Números críticos: e
  • Segunda derivada:
Com isso, podemos analisar o comportamento da função nos pontos críticos usando a segunda derivada para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 6

Vamos analisar cada número crítico:
  1. Para :
    Como , isso indica que a função tem um máximo relativo nesse ponto.
  2. Para :
    Como , isso indica que a função tem um mínimo relativo nesse ponto.

Passo 7

Agora, vamos esboçar os gráficos de , e no intervalo .
Embora eu não possa desenhar os gráficos aqui, vou descrever como eles se comportam:
  • Gráfico de :
    • É uma curva cúbica (grau 3) que vai se estendendo para positivos e negativos.
    • Tem um máximo em e um mínimo em .
    • No intervalo , a função se eleva e se abaixa conforme os pontos críticos.
  • Gráfico de :
    • É uma parábola (grau 2) representando a taxa de variação de .
    • A parábola intercepta o eixo nos pontos críticos e .
    • O sinal de indica onde a função está aumentando ou diminuindo.
  • Gráfico de :
    • É uma reta (grau 1) linear.
    • A inclinação positiva indica que a concavidade de muda conforme aumenta.
    • Onde , há um ponto de inflexão na função .

Resposta

Os números críticos da função no intervalo são (máximo relativo) e (mínimo relativo). Além disso, os gráficos de , e evidenciam o comportamento da função através de suas derivadas, mostrando os pontos de máximo, mínimo e a concavidade da curva dentro do intervalo analisado.

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