Ache o ponto no plano
, que está mais próximo do ponto
, e determine a distância mínima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o ponto no plano dado pela equação
que está mais próximo do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre um ponto e um plano. Vamos precisar entender como calcular essa distância e encontrar as coordenadas do ponto desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a distância
de um ponto
até um plano
. A fórmula é:
No nosso caso, o plano é
. Vamos reescrever isso na forma padrão
:
Então, temos
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula da distância para o ponto
:
Essa é a distância mínima entre o ponto e o plano.
Passo 4
Para encontrar o ponto no plano que está mais próximo do ponto
, vamos usar a projeção ortogonal desse ponto sobre o plano. A fórmula para a projeção
de um ponto
no plano
é:
Passo 5
Vamos aplicar essa fórmula com nossos valores:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, o denominador:
Então,
Simplificando:
Resposta
O ponto no plano
que está mais próximo de
é
, e a distância mínima é
unidades.
Exercícios relacionados
Nos Exercícios 1-22, encontre
e
.
Em um triângulo com lados de tamanho
e
, vamos denotar por
e
os ângulos opostos respectivos.
Suponha que e
. Encontre
.
Suponha que
Em um triângulo com lados de tamanho
e
, vamos denotar por
e
os ângulos opostos respectivos.
Suponha que e
. Encontre
Suponha que
Ache os pontos da curva de intersecção do elipsóide
com o plano
0 que estão mais próximos da origem e determine a distância mínima.