Ache o ponto no plano , que está mais próximo do ponto , e determine a distância mínima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o ponto no plano dado pela equação que está mais próximo do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre um ponto e um plano. Vamos precisar entender como calcular essa distância e encontrar as coordenadas do ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a distância de um ponto até um plano . A fórmula é:
No nosso caso, o plano é . Vamos reescrever isso na forma padrão :
Então, temos , , e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da distância para o ponto :
Essa é a distância mínima entre o ponto e o plano.

Passo 4

Para encontrar o ponto no plano que está mais próximo do ponto , vamos usar a projeção ortogonal desse ponto sobre o plano. A fórmula para a projeção de um ponto no plano é:

Passo 5

Vamos aplicar essa fórmula com nossos valores:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, o denominador:
Então,
Simplificando:

Resposta

O ponto no plano que está mais próximo de é , e a distância mínima é unidades.

Exercícios relacionados

Nos Exercícios 1-22, encontre e .
Em um triângulo com lados de tamanho e , vamos denotar por e os ângulos opostos respectivos.
Suponha que e . Encontre .
Em um triângulo com lados de tamanho e , vamos denotar por e os ângulos opostos respectivos.
Suponha que e . Encontre
Ache os pontos da curva de intersecção do elipsóide com o plano 0 que estão mais próximos da origem e determine a distância mínima.