Ache os pontos da curva de intersecção do elipsóide
com o plano
0 que estão mais próximos da origem e determine a distância mínima.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos onde a curva de intersecção do elipsóide
com o plano
está mais próxima da origem. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente a minimização de distâncias sujeitas a restrições geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos minimizar a distância do ponto
à origem. A fórmula da distância é
. Como a raiz quadrada é uma função crescente, podemos minimizar
diretamente para facilitar os cálculos.
Passo 3
Temos duas equações:
- Elipsóide:
- Plano:
Queremos encontrar os valores de
,
e
que satisfazem ambas as equações e minimizam
.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações para expressar duas variáveis em função de uma. A partir do plano, podemos isolar
:
Passo 5
Substituímos
na equação do elipsóide:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação com duas variáveis. Para facilitar, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para minimizar
sujeito às restrições das duas equações.
Passo 7
Definimos a função a ser minimizada:
E as restrições:
Passo 8
Aplicamos os multiplicadores de Lagrange, assumindo que:
Calculamos os gradientes:
Então, temos:
Passo 9
Resolvemos o sistema de equações obtido:
Além das restrições originais:
4.
5.
4.
5.
Passo 10
Resolver esse sistema pode ser complexo, mas ao manipularmos as equações, encontramos relações entre
e
que nos permitem expressar
,
e
em termos de uma variável comum.
Após resolver o sistema, encontramos os pontos que satisfazem todas as equações.
Resposta
Os pontos da curva de intersecção mais próximos da origem são
e
. A distância mínima da origem a esses pontos é
.
Exercícios relacionados
Em um triângulo com lados de tamanho
e
, vamos denotar por
e
os ângulos opostos respectivos.
Suponha que e
. Encontre
Suponha que
Ache o ponto no plano
, que está mais próximo do ponto
, e determine a distância mínima.
Ache os pontos na superfície
que estão mais próximos da origem e determine a distância mínima.
Escreva as expressões abaixo utilizando apenas a função