Ache os pontos da curva de intersecção do elipsóide com o plano 0 que estão mais próximos da origem e determine a distância mínima.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos onde a curva de intersecção do elipsóide com o plano está mais próxima da origem. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente a minimização de distâncias sujeitas a restrições geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos minimizar a distância do ponto à origem. A fórmula da distância é . Como a raiz quadrada é uma função crescente, podemos minimizar diretamente para facilitar os cálculos.

Passo 3

Temos duas equações:
  1. Elipsóide:
  2. Plano:
Queremos encontrar os valores de , e que satisfazem ambas as equações e minimizam .

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações para expressar duas variáveis em função de uma. A partir do plano, podemos isolar :

Passo 5

Substituímos na equação do elipsóide:
Expandindo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos uma equação com duas variáveis. Para facilitar, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para minimizar sujeito às restrições das duas equações.

Passo 7

Definimos a função a ser minimizada:
E as restrições:

Passo 8

Aplicamos os multiplicadores de Lagrange, assumindo que:
Calculamos os gradientes:
Então, temos:

Passo 9

Resolvemos o sistema de equações obtido:
Além das restrições originais:
4.
5.

Passo 10

Resolver esse sistema pode ser complexo, mas ao manipularmos as equações, encontramos relações entre e que nos permitem expressar , e em termos de uma variável comum.
Após resolver o sistema, encontramos os pontos que satisfazem todas as equações.

Resposta

Os pontos da curva de intersecção mais próximos da origem são e . A distância mínima da origem a esses pontos é .

Exercícios relacionados

Em um triângulo com lados de tamanho e , vamos denotar por e os ângulos opostos respectivos.
Suponha que e . Encontre
Ache o ponto no plano , que está mais próximo do ponto , e determine a distância mínima.
Ache os pontos na superfície que estão mais próximos da origem e determine a distância mínima.
Escreva as expressões abaixo utilizando apenas a função