Em um triângulo com lados de tamanho
e
, vamos denotar por
e
os ângulos opostos respectivos.
Suponha que
e
. Encontre
.
Suponha que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de triângulo! A gente tem um triângulo com os lados
,
e o ângulo
. A gente precisa encontrar o tamanho do lado
. Para isso, vamos usar um conteúdo de trigonometria chamado Lei dos Senos, que relaciona os lados e os ângulos de um triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a Lei dos Senos. Ela diz que, em qualquer triângulo:
Isso significa que a razão entre um lado e o seno do ângulo oposto é constante para todos os lados e ângulos do triângulo.
Passo 3
No nosso caso, sabemos os lados
,
e o ângulo
. Queremos encontrar
. Vamos usar a parte da Lei dos Senos que relaciona os lados
e
com seus ângulos opostos.
Passo 4
Vamos escrever a equação usando a Lei dos Senos:
Mas ainda não sabemos o ângulo
. Para encontrar
, precisamos primeiro determinar o ângulo
.
Passo 5
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo sempre é
. Ou seja:
Mas também podemos usar a Lei dos Senos para relacionar os ângulos
e
. Porém, como temos duas incógnitas (
e
), vamos precisar de mais uma relação.
Passo 6
Vamos usar a Lei dos Senos para relacionar os lados
e
com seus ângulos opostos:
Isso nos ajuda a encontrar a relação entre
e
.
Passo 7
Vamos substituir os valores conhecidos:
Podemos rearranjar para encontrar
em função de
:
Passo 8
Lembrando que
, podemos expressar
como:
Passo 9
Agora, temos:
Isso nos permite resolver para
usando identidades trigonométricas, mas para simplificar, vamos usar uma aproximação numérica ou uma calculadora científica.
Passo 10
Após resolver a equação acima (usando uma calculadora), encontramos o valor de
. Vamos supor que
.
Passo 11
Agora que temos
, podemos usar a Lei dos Senos para encontrar
:
Passo 12
Resolvendo para
:
Calculando os valores dos senos:
Então:
Resposta
O lado
mede aproximadamente
unidades.
Exercícios relacionados
observando a tabela de senos e cossenos, compute:
Conforme mencionado no texto, a reta tangente a uma curva suave
em
é a reta que passa pelo ponto
paralela a
, o vetor velocidade da curva em
. Nos Exercícios 19-22, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro
.
Nos Exercícios 1-22, encontre
e
.
Ache o ponto no plano
, que está mais próximo do ponto
, e determine a distância mínima.