Nos Exercícios 1-22, encontre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é um conceito de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
, ou seja, a derivada de
em relação a
. Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a
.
A função
é o produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Agora, vamos derivar cada parte:
-
: Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Então, , logo . Portanto:
-
: Como é tratado como constante em relação a , a derivada de uma constante é zero:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão da regra do produto:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
, a derivada de
em relação a
. Desta vez,
é tratado como constante.
Novamente, temos a função
, que é o produto de
e
. Usaremos a regra do produto mais uma vez.
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Derivando cada parte:
-
: Usamos a regra da cadeia. , então . Portanto:
-
: A derivada de em relação a é :
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da regra do produto:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
e
Exercícios relacionados
Em um triângulo com lados de tamanho
e
, vamos denotar por
e
os ângulos opostos respectivos.
Suponha que e
. Encontre
.
Suponha que
observando a tabela de senos e cossenos, compute:
Ache o ponto no plano
, que está mais próximo do ponto
, e determine a distância mínima.
Em um triângulo com lados de tamanho
e
, vamos denotar por
e
os ângulos opostos respectivos.
Suponha que e
. Encontre
Suponha que