Nos Exercícios 1-22, encontre e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é um conceito de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , ou seja, a derivada de em relação a . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a .
A função é o produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
Agora, vamos derivar cada parte:
  1. : Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Então, , logo . Portanto:
  1. : Como é tratado como constante em relação a , a derivada de uma constante é zero:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da regra do produto:

Passo 5

Agora, vamos encontrar , a derivada de em relação a . Desta vez, é tratado como constante.
Novamente, temos a função , que é o produto de e . Usaremos a regra do produto mais uma vez.

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
Derivando cada parte:
  1. : Usamos a regra da cadeia. , então . Portanto:
  1. : A derivada de em relação a é :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da regra do produto:

Resposta

As derivadas parciais de são:
e

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