Nos Exercícios 1-22, encontre partial f / partial x e partial f / partial y.
f(x, y)=e^x y ln y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é um conceito de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , ou seja, a derivada de em relação a . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a .
A função é o produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial x = partialpartial x(e^xy) cdot ln y + e^xy cdot partialpartial x(ln y)
Agora, vamos derivar cada parte:
  1. partialpartial x(e^xy) = e^xy cdot y : Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de partialpartial x(ln y) = 0 em relação a é . Então, , logo . Portanto:
  1. : Como é tratado como constante em relação a , a derivada de uma constante é zero:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da regra do produto:
partial fpartial x = e^xy cdot y cdot ln y + e^xy cdot 0 = e^xy y ln y

Passo 5

Agora, vamos encontrar , a derivada de em relação a . Desta vez, é tratado como constante.
Novamente, temos a função , que é o produto de e . Usaremos a regra do produto mais uma vez.

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial y = partialpartial y(e^xy) cdot ln y + e^xy cdot partialpartial y(ln y)
Derivando cada parte:
  1. partialpartial y(e^xy) = e^xy cdot x : Usamos a regra da cadeia. partialpartial y(ln y) = 1y , então . Portanto:
  1. : A derivada de em relação a é :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da regra do produto:
partial fpartial y = e^xy cdot x cdot ln y + e^xy cdot 1y = e^xy x ln y + e^xyy

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x = e^xy cdot y ln y são:
partial fpartial y = e^xy cdot x ln y + e^xyy
e

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