Ache um ponto sobre o eixo y que seja equidistante de (5, -5) e 1,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um ponto sobre o eixo que esteja à mesma distância dos pontos e . A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância e criar uma equação que nos ajude a encontrar as coordenadas do ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que o ponto que estamos procurando está no eixo . Isso significa que sua coordenada é zero. Vamos chamar esse ponto de .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a distância entre e , e também a distância entre e . A fórmula da distância entre dois pontos e é:

Passo 4

Aplicando a fórmula, a distância entre e fica:
E a distância entre e fica:

Passo 5

Como o ponto está equidistante dos dois pontos dados, as distâncias e são iguais. Então, podemos montar a equação:

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos primeiro eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 7

Agora, vamos expandir os termos ao quadrado:
Simplificando:

Passo 8

Vamos subtrair de ambos os lados para simplificar:

Passo 9

Agora, vamos somar em ambos os lados para reunir os termos com :

Passo 10

Subtraindo 50 de ambos os lados:

Passo 11

Finalmente, dividindo ambos os lados por 12:

Resposta

O ponto sobre o eixo que é equidistante dos pontos e é .

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