Mostre que as retas 2x - y = 4 e 6x - 2y = 10 não são paralelas e ache o seu ponto de intersecção.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que as retas e não são paralelas e encontrar o ponto de intersecção delas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre coeficientes angulares das retas e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular (slope) de cada reta. Isso nos ajudará a determinar se elas são paralelas ou não. O coeficiente angular é o “m” na equação da reta na forma .

Passo 3

Vamos reorganizar a primeira equação para a forma :
Aqui, o coeficiente angular é 2.

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a segunda equação para a forma :
O coeficiente angular desta reta é 3.

Passo 5

Comparando os coeficientes angulares e , vemos que eles são diferentes. Quando as retas têm coeficientes angulares distintos, elas não são paralelas. Então, concluímos que as retas não são paralelas.

Passo 6

Para encontrar o ponto de intersecção, precisamos resolver o sistema de equações formado pelas duas retas:
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vou usar o método de eliminação aqui.

Passo 7

Vamos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de :
Agora, temos:

Passo 8

Subtraindo a primeira equação da segunda:

Passo 9

Com o valor de , substituímos na primeira equação original para encontrar :

Resposta

As retas não são paralelas e se intersectam no ponto .

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