Considere a equação diferencial
Demonstre que o ponto é um ponto ordinario da equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
O que a questão pede é para demonstrar que o ponto é um ponto ordinário dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de pontos ordinários e singulares em equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos precisar entender como identificar esses pontos analisando os coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ponto ordinário. Em uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma:
um ponto é chamado de ponto ordinário se as funções e são analíticas (ou seja, têm séries de Taylor que convergem) no entorno de . Caso contrário, é um ponto singular.

Passo 3

Vamos adaptar nossa equação para o formato padrão. Dada a equação:
Aqui, identificamos:

Passo 4

Agora, vamos calcular e :

Passo 5

Para que seja um ponto ordinário, tanto quanto devem ser analíticas em .
Vamos analisar cada uma:
  1. Para :
    • Essa expressão é uma função polinomial, que é analítica em todo lugar, inclusive em .
  2. Para :
    • Aqui, precisamos verificar se há algum problema em .
    • Se substituíssemos , teríamos uma divisão por zero, o que parece problemático. Porém, vamos analisar o comportamento próximo a esse ponto.

Passo 6

Observando , note que:
  • Então, a expressão se torna , o que é uma indeterminação.
Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos ajuda a lidar com limites de indeterminação do tipo .

Passo 7

Aplicando a regra de L’Hôpital:
Isso mostra que, apesar da forma , a função tende a um valor finito (-1) quando se aproxima de .

Passo 8

Conclusão:
  • tem um limite finito em , portanto, é analítica nesse ponto.
  • também é analítica em .
Assim, ambos os coeficientes são analíticos em , o que significa que esse ponto é ordinário para a equação diferencial dada.

Resposta

Portanto, o ponto é um ponto ordinário da equação diferencial apresentada.

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