Considere a equação diferencial
Demonstre que o ponto
é um ponto ordinario da equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
O que a questão pede é para demonstrar que o ponto
é um ponto ordinário dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de pontos ordinários e singulares em equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos precisar entender como identificar esses pontos analisando os coeficientes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ponto ordinário. Em uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma:
um ponto
é chamado de ponto ordinário se as funções
e
são analíticas (ou seja, têm séries de Taylor que convergem) no entorno de
. Caso contrário,
é um ponto singular.
Passo 3
Vamos adaptar nossa equação para o formato padrão. Dada a equação:
Aqui, identificamos:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 5
Para que
seja um ponto ordinário, tanto
quanto
devem ser analíticas em
.
Vamos analisar cada uma:
-
Para
: - Essa expressão é uma função polinomial, que é analítica em todo lugar, inclusive em
.
- Essa expressão é uma função polinomial, que é analítica em todo lugar, inclusive em
-
Para
: - Aqui, precisamos verificar se há algum problema em
. - Se substituíssemos
, teríamos uma divisão por zero, o que parece problemático. Porém, vamos analisar o comportamento próximo a esse ponto.
- Aqui, precisamos verificar se há algum problema em
Passo 6
Observando
, note que:
-
- Então, a expressão se torna
, o que é uma indeterminação.
Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos ajuda a lidar com limites de indeterminação do tipo
.
Passo 7
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Isso mostra que, apesar da forma
, a função
tende a um valor finito (-1) quando
se aproxima de
.
Passo 8
Conclusão:
-
tem um limite finito em , portanto, é analítica nesse ponto. -
também é analítica em .
Assim, ambos os coeficientes são analíticos em
, o que significa que esse ponto é ordinário para a equação diferencial dada.
Resposta
Portanto, o ponto
é um ponto ordinário da equação diferencial apresentada.
Exercícios relacionados
Passa pelo ponto
, paralela à reta
Ache um ponto sobre o eixo
que seja equidistante de
e
.
Mostre que as retas
e
não são paralelas e ache o seu ponto de intersecção.