(a) Encontre as equações dos lados do triângulo com vértices e .
(b) Ache equações para as medianas desse triângulo. Onde elas se interceptam?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices nos pontos , e . O que precisamos fazer é:
(a) Encontrar as equações das três retas que formam os lados desse triângulo.
(b) Encontrar as equações das medianas desse triângulo e descobrir onde elas se cruzam.
Vamos usar um pouco de geometria analítica para isso, que envolve trabalhar com coordenadas e equações de retas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a): encontrar as equações das retas dos lados do triângulo. Pra cada lado, precisamos encontrar a equação da reta que passa por dois pontos.
A fórmula geral da reta é , onde é o coeficiente angular (a inclinação) e é o coeficiente linear (o ponto onde a reta cruza o eixo Y).

Passo 3

Vamos começar pela reta que une os pontos e .
Primeiro, calculamos a inclinação :
Agora que sabemos que , usamos um dos pontos para encontrar . Vamos usar o ponto :
Então, a equação da reta PQ é:

Passo 4

Agora, vamos para a reta que une os pontos e .
Calculando a inclinação :
Usando o ponto para encontrar :
Então, a equação da reta QR é:

Passo 5

Por fim, vamos para a reta que une os pontos e .
Calculando a inclinação :
Usando o ponto para encontrar :
Então, a equação da reta PR é:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): encontrar as equações das medianas e descobrir onde elas se interceptam.
Primeiro, uma mediana é uma reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Vamos encontrar os pontos médios de cada lado:
  1. Ponto médio de QR:
  1. Ponto médio de PR:
  1. Ponto médio de PQ:
Agora, vamos encontrar as equações das medianas:
  • Média de R a PQ: une e
  • Média de Q a PR: une e
  • Média de P a QR: une e
Vamos calcular uma dessas para encontrar a interseção.
Vamos pegar, por exemplo, as medianas de R a PQ e de Q a PR.
Média de R a PQ:
Calculando a inclinação :
Usando o ponto para encontrar :
Então, a equação da mediana é:
Média de Q a PR:
Calculando a inclinação :
Usando o ponto para encontrar :
Então, a equação da mediana é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar onde essas duas medianas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Multiplicando tudo por 3 para eliminar os denominadores:
Resolvendo para :
Agora, substituímos em uma das equações das medianas para encontrar :

Resposta

(a) As equações dos lados do triângulo são:
(b) As equações das medianas são:
As medianas se interceptam no ponto .

Exercícios relacionados

Mostre que as retas e não são paralelas e ache o seu ponto de intersecção.
Ache um ponto sobre o eixo que seja equidistante de e .
Ache uma equação da mediatriz do segmento de reta com extremidades nos pontos e .
(a) Mostre que os pontos e são colineares (pertencem à mesma reta) mostrando que .
(b) Use as inclinações para mostrar que , e são colineares.