Ache os pontos críticos, os extremos locais, os pontos de inflexão e represente as funções graficamente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos, os extremos locais, os pontos de inflexão e fazer o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada primeira da função é zero ou não existe. Eles são importantes porque podem ser pontos de máximos ou mínimos locais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada primeira da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde essa derivada é igual a zero:
Podemos fatorar essa expressão:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar se esses pontos cr��ticos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. Para isso, usamos a derivada segunda da função.
Primeiro, calculamos a derivada segunda:
Passo 6
Vamos avaliar a derivada segunda nos pontos críticos.
Para
:
Como
, não podemos determinar a concavidade nesse ponto usando apenas a derivada segunda. Precisamos analisar mais a fundo ou usar outro método.
Para
:
Como
, isso indica que
é um máximo local.
Passo 7
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Para isso, procuramos onde a derivada segunda é zero.
Resolvendo
:
Então,
ou
. Esses são os possíveis pontos de inflexão.
Vamos verificar a troca de concavidade:
Para
, por exemplo
:
Para
, por exemplo
:
Para
, por exemplo
:
Assim, a concavidade muda em
e
. Portanto, esses são pontos de inflexão.
Passo 8
Agora, vamos resumir o que encontramos:
- Pontos críticos:
e - Máximo local:
- Pontos de inflexão:
e
Passo 9
Por fim, vamos fazer o gráfico da função
considerando os pontos encontrados. No gráfico, marcamos os pontos críticos e de inflexão para entender melhor o comportamento da função.
Resposta
Os pontos críticos são
e
, com
sendo um máximo local. Os pontos de inflexão estão em
e
. O gráfico da função
apresenta esses pontos destacados.
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Seja
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:
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