Ache os pontos críticos, os extremos locais, os pontos de inflexão e represente as funções graficamente:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos, os extremos locais, os pontos de inflexão e fazer o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada primeira da função é zero ou não existe. Eles são importantes porque podem ser pontos de máximos ou mínimos locais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada primeira da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde essa derivada é igual a zero:
Podemos fatorar essa expressão:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 5

Agora, vamos determinar se esses pontos cr��ticos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. Para isso, usamos a derivada segunda da função.
Primeiro, calculamos a derivada segunda:

Passo 6

Vamos avaliar a derivada segunda nos pontos críticos.
Para :
Como , não podemos determinar a concavidade nesse ponto usando apenas a derivada segunda. Precisamos analisar mais a fundo ou usar outro método.
Para :
Como , isso indica que é um máximo local.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Para isso, procuramos onde a derivada segunda é zero.
Resolvendo :
Então, ou . Esses são os possíveis pontos de inflexão.
Vamos verificar a troca de concavidade:
Para , por exemplo :
Para , por exemplo :
Para , por exemplo :
Assim, a concavidade muda em e . Portanto, esses são pontos de inflexão.

Passo 8

Agora, vamos resumir o que encontramos:
  • Pontos críticos: e
  • Máximo local:
  • Pontos de inflexão: e

Passo 9

Por fim, vamos fazer o gráfico da função considerando os pontos encontrados. No gráfico, marcamos os pontos críticos e de inflexão para entender melhor o comportamento da função.

Resposta

Os pontos críticos são e , com sendo um máximo local. Os pontos de inflexão estão em e . O gráfico da função apresenta esses pontos destacados.

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