Ache os pontos críticos da função f(x, y) = (1 + x*y)(x + y) e classifique-os utilizando o teste da derivada segunda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função e classificá-los usando o teste da derivada segunda. Isso pertence à matéria de Cálculo Multivariável, especificamente ao estudo de funções de várias variáveis e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são pontos onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero ou não existem. Ou seja, precisamos encontrar onde e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Começando com (derivada parcial em relação a ):
Aplicamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Agora, vamos calcular (derivada parcial em relação a ):
Calculando cada parte:
Então:

Passo 4

Agora, precisamos resolver o sistema de equações para encontrar os pontos onde e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 5

Vamos tentar resolver o sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Vamos considerar os dois casos: e .
Caso 1:
Substituindo na equação (1):
Não há solução real para nesse caso.
Caso 2:
Substituindo na equação (1):
Então, temos dois pontos:
  • Se , então
  • Se , então

Passo 6

Agora que encontramos os pontos críticos e , vamos classificá-los usando o teste da derivada segunda. Esse teste nos ajuda a determinar se cada ponto crítico é um mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Primeiro, calculamos as derivadas segundas:
O teste da derivada segunda utiliza o discriminante :
Analisaremos cada ponto:
Ponto (1, -1):
Como , o ponto é um ponto de sela.
Ponto (-1, 1):
Novamente, , então esse ponto também é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são e . Ambos são pontos de sela segundo o teste da derivada segunda.

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