Ache os pontos críticos da função
e classifique-os utilizando o teste da derivada segunda.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los usando o teste da derivada segunda. Isso pertence à matéria de Cálculo Multivariável, especificamente ao estudo de funções de várias variáveis e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são pontos onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero ou não existem. Ou seja, precisamos encontrar onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Começando com
(derivada parcial em relação a
):
Aplicamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Agora, vamos calcular
(derivada parcial em relação a
):
Calculando cada parte:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos resolver o sistema de equações para encontrar os pontos onde
e
:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Vamos tentar resolver o sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Vamos considerar os dois casos:
e
.
Caso 1:
Substituindo na equação (1):
Não há solução real para
nesse caso.
Caso 2:
Substituindo na equação (1):
Então, temos dois pontos:
- Se
, então - Se
, então
Passo 6
Agora que encontramos os pontos críticos
e
, vamos classificá-los usando o teste da derivada segunda. Esse teste nos ajuda a determinar se cada ponto crítico é um mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Primeiro, calculamos as derivadas segundas:
O teste da derivada segunda utiliza o discriminante
:
Analisaremos cada ponto:
Ponto (1, -1):
Como
, o ponto é um ponto de sela.
Ponto (-1, 1):
Novamente,
, então esse ponto também é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
. Ambos são pontos de sela segundo o teste da derivada segunda.
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Encontre a derivada direcional de em
na direção
.
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Calcule o limite, se existir, de:
.
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.
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Seja
Encontre em
.
Encontre