Seja
Encontre a derivada direcional de
em
na direção
.
Encontre a derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está na área de Cálculo Diferencial, e vamos precisar entender derivadas parciais e derivadas direcionais para encontrar a resposta. O que precisamos fazer é calcular a derivada direcional da função
no ponto (1, 2) na direção do vetor (-1, 1).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Basicamente, ela nos dá a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos da gradiente da função no ponto dado e da vetor unitário na direção desejada.
Passo 3
Vamos encontrar a gradiente da função
. A gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a
:
Em seguida, a derivada parcial em relação a
:
Então, a gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a gradiente no ponto (1, 2):
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção do vetor dado (-1, 1). Primeiro, calculamos o comprimento (norma) do vetor:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Resposta
A derivada direcional de
em (1, 2) na direção de (-1, 1) é
.
Exercícios relacionados
Calcule o limite, se existir, de:
.
Suponha que
e seja
. Calcule
e encontre seu valor numericamente em
.
Ache os pontos críticos da função
e classifique-os utilizando o teste da derivada segunda.
Seja
Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto
.
Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de