Seja f(x, y) = x^2 * y^2 - x
Encontre a derivada direcional de f em 1,2 na direção (-1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está na área de Cálculo Diferencial, e vamos precisar entender derivadas parciais e derivadas direcionais para encontrar a resposta. O que precisamos fazer é calcular a derivada direcional da função no ponto (1, 2) na direção do vetor (-1, 1).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Basicamente, ela nos dá a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos da gradiente da função no ponto dado e da vetor unitário na direção desejada.

Passo 3

Vamos encontrar a gradiente da função . A gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e .
Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a :
Em seguida, a derivada parcial em relação a :
Então, a gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a gradiente no ponto (1, 2):

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção do vetor dado (-1, 1). Primeiro, calculamos o comprimento (norma) do vetor:
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:

Resposta

A derivada direcional de em (1, 2) na direção de (-1, 1) é .

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Seja f(x, y) = x^2 * y^2 - x
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