Calcule o limite, se existir, de:
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
.
Este problema está relacionado ao cálculo de limites de funções de duas variáveis, uma parte do estudo de Cálculo Multivariável. Para resolvê-lo, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo logaritmos e analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 1 e
de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo
por
, onde
é uma pequena variação em torno de 1. Assim, temos:
Isso facilita a análise, já que agora estamos olhando para o comportamento próximo a
.
Passo 3
Sabemos que, para valores pequenos de
, o logaritmo pode ser aproximado por:
Portanto, substituindo na expressão original:
Passo 4
Agora, para determinar o limite, devemos verificar se ele é o mesmo independente do caminho que
percorre para chegar a
. Vamos testar alguns caminhos:
- Caminho
:
- Caminho
:
- Caminho
:
Passo 5
Observamos que, independente do caminho escolhido, o limite tende a zero. Além disso, não há indeterminações que sugiram a existência de diferentes limites dependendo da direção de aproximação.
Resposta
O limite existe e é igual a
.
Exercícios relacionados
Suponha que
e seja
. Calcule
e encontre seu valor numericamente em
.
Encontre os pontos críticos de
e diga qual o tipo de cada um (máximo, mínimo ou ponto de sela).
Seja
Encontre a derivada direcional de em
na direção
.
Encontre a derivada direcional de
Ache os pontos críticos da função
e classifique-os utilizando o teste da derivada segunda.