Seja
Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e precisamos achar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto
. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função se comporta em cada direção.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
realmente está no gráfico de
. Para isso, substituímos
e
na função:
Como
, o ponto
está certinho no gráfico de
.
Passo 3
Agora, vamos precisar das derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas vão nos dar a inclinação do plano tangente nessas direções.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, usamos a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais bonita:
Resposta
Então, a equação do plano tangente é
.
Exercícios relacionados
Ache os pontos críticos da função
e classifique-os utilizando o teste da derivada segunda.
Seja
Encontre a derivada direcional de em
na direção
.
Encontre a derivada direcional de
Seja
Encontre em
.
Encontre
Encontre os pontos do hiperboloide
onde o plano tangente é paralelo ao plano