Seja f(x, y) = x^2 * y^2 - x
Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (1, 2, 3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos achar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto . Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função se comporta em cada direção.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente está no gráfico de . Para isso, substituímos e na função:
Como , o ponto está certinho no gráfico de .

Passo 3

Agora, vamos precisar das derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas vão nos dar a inclinação do plano tangente nessas direções.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, usamos a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais bonita:

Resposta

Então, a equação do plano tangente é .

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