Seja f(x, y) = x^2 * y^2 - x
Encontre nabla f em 1,2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o gradiente da função no ponto (1,2). Isso tá dentro do assunto de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e gradiente. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a , e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, , é um vetor que aponta na direção de maior taxa de crescimento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, derivamos em relação a , tratando como constante:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto :
Para :
Para :

Resposta

O gradiente de no ponto é .

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