Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função e determinar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 4

Para determinar a natureza desse ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:

Passo 5

Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana :

Passo 6

Interpretamos o valor de :
  • Se e , então é um mínimo local.
  • Se e , então é um máximo local.
  • Se , então é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então o ponto é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é e ele é um ponto de sela.

Exercícios relacionados

Seja
b) (3 pontos) Calcule o limite
Seja
a) (1 ponto) Determine os pontos onde a função é contínua.
Encontre e classifique os pontos críticos da função .
Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.