Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função
e determinar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para determinar a natureza desse ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 5
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana
:
Passo 6
Interpretamos o valor de
:
- Se
e , então é um mínimo local. - Se
e , então é um máximo local. - Se
, então é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Seja
b) (3 pontos) Calcule o limite
Seja
a) (1 ponto) Determine os pontos onde a função
é contínua.
Encontre e classifique os pontos críticos da função
.
Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.