Encontre e classifique os pontos críticos da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde analisamos funções de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a análise da matriz hessiana para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações e :
Vamos simplificar a equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então, também. Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto crítico , vamos classificar esse ponto. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais da função:

Passo 5

Com essas derivadas, vamos calcular o determinante da matriz hessiana :

Passo 6

Agora, vamos usar o valor de para classificar o ponto crítico:
  • Se e , o ponto é um mínimo local.
  • Se e , o ponto é um máximo local.
  • Se , o ponto é um ponto de sela.
  • Se , a classificação é inconclusiva.
No nosso caso, e . Portanto, o ponto é um mínimo local.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em , que é um mínimo local.

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