Encontre e classifique os pontos críticos da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde analisamos funções de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a análise da matriz hessiana para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações
e
:
Vamos simplificar a equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Então,
também. Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora que encontramos o ponto crítico
, vamos classificar esse ponto. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais da função:
Passo 5
Com essas derivadas, vamos calcular o determinante da matriz hessiana
:
Passo 6
Agora, vamos usar o valor de
para classificar o ponto crítico:
- Se
e , o ponto é um mínimo local. - Se
e , o ponto é um máximo local. - Se
, o ponto é um ponto de sela. - Se
, a classificação é inconclusiva.
No nosso caso,
e
. Portanto, o ponto
é um mínimo local.
Resposta
A função
tem um único ponto crítico em
, que é um mínimo local.
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Seja
b) (3 pontos) Calcule o limite
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.