Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos da função e determinar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de derivadas parciais e análise de pontos críticos em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a :
A derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde e .
Primeiro, igualamos a zero:
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 4

Caso 1:
Substituindo na equação de :
Resolvendo para :
Portanto, temos dois pontos críticos:

Passo 5

Caso 2:
Substituindo na equação de :
Resolvendo para :
Então, temos mais dois pontos críticos:

Passo 6

Agora que encontramos os pontos críticos , , e , vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante é dado por:

Passo 7

Vamos calcular para cada ponto crítico e classificar:
  1. Ponto (0, 1):
Como , é um ponto de sela.
  1. Ponto (0, -1):
Também é um ponto de sela.
  1. Ponto (1, 0):
E , então é um mínimo local.
  1. Ponto (-1, 0):
Mas , então é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos são:
  • e : pontos de sela.
  • : mínimo local.
  • : máximo local.

Exercícios relacionados

Encontre e classifique os pontos críticos da função .
Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.
Encontre e determine a natureza dos pontos críticos da função .