Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
e determinar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de derivadas parciais e análise de pontos críticos em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
:
A derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde
e
.
Primeiro, igualamos
a zero:
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 4
Caso 1:
Substituindo
na equação de
:
Resolvendo para
:
Portanto, temos dois pontos críticos:
Passo 5
Caso 2:
Substituindo
na equação de
:
Resolvendo para
:
Então, temos mais dois pontos críticos:
Passo 6
Agora que encontramos os pontos críticos
,
,
e
, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Passo 7
Vamos calcular
para cada ponto crítico e classificar:
- Ponto (0, 1):
Como
, é um ponto de sela.
- Ponto (0, -1):
Também é um ponto de sela.
- Ponto (1, 0):
E
, então é um mínimo local.
- Ponto (-1, 0):
Mas
, então é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos são:
-
e : pontos de sela. -
: mínimo local. -
: máximo local.
Exercícios relacionados
Encontre e classifique os pontos críticos da função
.
Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.
Encontre e determine a natureza dos pontos críticos da função
.