Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela. f(x, y) = 1 + x^2 - y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função e dizer se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar de conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E em relação a :

Passo 4

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 5

Para determinar se esse ponto é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela, usamos o Teste da Segunda Derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante :

Passo 6

Analisando o discriminante :
  • Se e , é um mínimo local.
  • Se e , é um máximo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico é e é um ponto de sela.

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