Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função
e dizer se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar de conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 5
Para determinar se esse ponto é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela, usamos o Teste da Segunda Derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante
:
Passo 6
Analisando o discriminante
:
- Se
e , é um mínimo local. - Se
e , é um máximo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, então
é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico é
e é um ponto de sela.