Encontre e determine a natureza dos pontos críticos da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e determinar a natureza dos pontos críticos da função . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo multivariável, focando em derivadas parciais e no teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, precisamos resolver o sistema:

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 5

Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Agora que temos , substituímos de volta em :
Então, o ponto crítico é .

Passo 7

Para determinar a natureza desse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:

Passo 8

Calculamos o discriminante usando a fórmula:

Passo 9

Analisando o discriminante:
  • Se e , o ponto é um mínimo local.
  • Se e , o ponto é um máximo local.
  • Se , o ponto é um ponto de sela.
No nosso caso, e , então o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

O ponto crítico �� um mínimo local da função .

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