Encontre e determine a natureza dos pontos críticos da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e determinar a natureza dos pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo multivariável, focando em derivadas parciais e no teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, precisamos resolver o sistema:
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver a segunda equação para
:
Passo 5
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Agora que temos
, substituímos de volta em
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 7
Para determinar a natureza desse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 8
Calculamos o discriminante
usando a fórmula:
Passo 9
Analisando o discriminante:
- Se
e , o ponto é um mínimo local. - Se
e , o ponto é um máximo local. - Se
, o ponto é um ponto de sela.
No nosso caso,
e
, então o ponto crítico é um mínimo local.
Resposta
O ponto crítico
�� um mínimo local da função
.
Exercícios relacionados
Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.
Encontre e classifique os pontos críticos da função
.
Determine se o ponto
é um máximo, mínimo ou ponto de sela para a função
.