Determine se o ponto
é um máximo, mínimo ou ponto de sela para a função
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o ponto
é um ponto de máximo, mínimo ou ponto de sela para a função
. Para isso, vamos utilizar o Teste da Segunda Derivada, que nos ajuda a classificar pontos críticos de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então,
.
Portanto, o único ponto crítico é
. Como o exercício nos pede para analisar o ponto
, que não é um ponto crítico, concluímos que ele não é nem máximo, nem mínimo, nem ponto de sela.
Passo 4
Entretanto, para confirmar completamente, vamos verificar se
é realmente um ponto crítico.
Calculando as derivadas parciais em
:
Como
e
, o ponto
não é um ponto crítico da função
. Portanto, ele não pode ser classificado como máximo, mínimo ou ponto de sela.
Resposta
O ponto
não é um máximo, mínimo ou ponto de sela para a função
, pois não é um ponto crítico da função.
Exercícios relacionados
Encontre e determine a natureza dos pontos críticos da função
.
Determine os máximos e mínimos locais da função
.
Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.