Determine se o ponto (1, -1) é um máximo, mínimo ou ponto de sela para a função f(x, y) = x^2 - x*y + y^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o ponto é um ponto de máximo, mínimo ou ponto de sela para a função . Para isso, vamos utilizar o Teste da Segunda Derivada, que nos ajuda a classificar pontos críticos de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a x e y.
A derivada parcial em relação a x é:
A derivada parcial em relação a y é:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então, .
Portanto, o único ponto crítico é . Como o exercício nos pede para analisar o ponto , que não é um ponto crítico, concluímos que ele não é nem máximo, nem mínimo, nem ponto de sela.

Passo 4

Entretanto, para confirmar completamente, vamos verificar se é realmente um ponto crítico.
Calculando as derivadas parciais em :
Como e , o ponto não é um ponto crítico da função f(x, y). Portanto, ele não pode ser classificado como máximo, mínimo ou ponto de sela.

Resposta

O ponto não é um máximo, mínimo ou ponto de sela para a função , pois não é um ponto crítico da função.

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