Determine os máximos e mínimos locais da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos locais da função dada:
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e testes para identificar pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, para achar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, a gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Para saber se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela, a gente usa o teste da segunda derivada. Vamos calcular as segundas derivadas:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana (D):
Passo 6
Analisando o determinante
e como
, isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.
Resposta
A função
tem um mínimo local no ponto
.
Exercícios relacionados
Determine se o ponto
é um máximo, mínimo ou ponto de sela para a função
.
Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.
Encontre e classifique os pontos críticos da função
.