Determine os máximos e mínimos locais da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos locais da função dada: . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e testes para identificar pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, para achar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, a gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Para saber se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela, a gente usa o teste da segunda derivada. Vamos calcular as segundas derivadas:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana (D):

Passo 6

Analisando o determinante e como , isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

A função tem um mínimo local no ponto .

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Determine se o ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela para a função .
Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.
Encontre e classifique os pontos críticos da função .