Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela. f(x, y) = x^2 + (y - 1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e determinar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, temos um único ponto crítico: .

Passo 3

Agora que encontramos o ponto crítico , precisamos determinar se ele é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as derivadas segundas da função:
Agora, calculamos o determinante da Hessiana ( ):
Analisamos o valor de :
  • Se e , então temos um mínimo local.
  • Se e , então temos um máximo local.
  • Se , então é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e . Portanto, o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico da função é , e esse ponto é um m��nimo local.

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