Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e determinar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, temos um único ponto crítico:
.
Passo 3
Agora que encontramos o ponto crítico
, precisamos determinar se ele é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as derivadas segundas da função:
Agora, calculamos o determinante da Hessiana (
):
Analisamos o valor de
:
- Se
e , então temos um mínimo local. - Se
e , então temos um máximo local. - Se
, então é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
. Portanto, o ponto crítico
é um mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico da função
é
, e esse ponto é um m��nimo local.