Encontre e classifique os pontos críticos da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O desafio aqui é encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente o estudo de derivadas parciais e análise de pontos críticos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois analisar cada ponto para ver se é um mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero. Ou seja, onde a função não está aumentando nem diminuindo em nenhuma direção. Para encontrar esses pontos, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Agora, vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações:
Podemos fatorar:
Isso nos dá as soluções:
Portanto, os pontos críticos são todas as combinações desses valores de e :

Passo 4

Agora, vamos classificar cada ponto crítico para saber se são mínimos, máximos ou pontos de sela. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é:
O determinante do Hessiano é:
Agora, analisamos e para cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
    Como e , é um máximo local.
  2. Pontos ( , 0), (-\sqrt{2}, 0), (0, ), (0, - ):
    Como , são pontos de sela.
  3. Pontos ( , ), ( , - ), (- , ), (- , - ):
    Como e , são mínimos locais.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  1. (0, 0): Máximo local.
  2. ( , 0), (- , 0), (0, ), (0, - )): Pontos de sela.
  3. ( , ), ( , - ), (- , ), (- , - )): Mínimos locais.

Exercícios relacionados

Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.
Determine os máximos e mínimos locais da função .
Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de .
Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de .