Encontre e classifique os pontos críticos da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O desafio aqui é encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente o estudo de derivadas parciais e análise de pontos críticos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois analisar cada ponto para ver se é um mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero. Ou seja, onde a função não está aumentando nem diminuindo em nenhuma direção. Para encontrar esses pontos, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Agora, vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações:
Podemos fatorar:
Isso nos dá as soluções:
Portanto, os pontos críticos são todas as combinações desses valores de
e
:
Passo 4
Agora, vamos classificar cada ponto crítico para saber se são mínimos, máximos ou pontos de sela. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é:
O determinante do Hessiano é:
Agora, analisamos
e
para cada ponto crítico:
-
Ponto (0, 0):Como
e , é um máximo local. -
Pontos (
, 0), (-\sqrt{2}, 0), (0, ), (0, - ): Como, são pontos de sela. -
Pontos (
, ), ( , - ), (- , ), (- , - ): Comoe , são mínimos locais.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
- (0, 0): Máximo local.
- (
, 0), (- , 0), (0, ), (0, - )): Pontos de sela. - (
, ), ( , - ), (- , ), (- , - )): Mínimos locais.
Exercícios relacionados
Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.
Determine os máximos e mínimos locais da função
.
Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de
.
Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de
.