Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo, além de identificar os valores máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta em termos de crescimento e decrescimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto.
Calculando cada termo:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes para determinar onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
-
⇒ -
⇒
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos usando esses pontos críticos:
,
e
. Em cada intervalo, vamos escolher um valor de teste para ver se a derivada
é positiva ou negativa.
Passo 5
Vamos verificar o sinal de
em cada intervalo:
-
Intervalo
: Escolha Como, a função está decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo
: Escolha Como, a função continua decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo
: Escolha Como, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 6
Para encontrar os valores máximos e mínimos locais, observamos onde a derivada muda de sinal:
-
Em
: - Antes de 0,
é negativa. - Depois de 0,
continua negativa. - Não há mudança de sinal, então não há máximo ou mínimo aqui.
- Antes de 0,
-
Em
: - Antes de 2,
é negativa. - Depois de 2,
é positiva. - Mudança de sinal de negativo para positivo, indicando um mínimo local em
.
- Antes de 2,
Para encontrar o valor do mínimo, substituímos
na função original:
Resposta
A função
está:
- Decrescente nos intervalos
e . - Crescente no intervalo
.
Além disso, a função possui um mínimo local no ponto
.
Exercícios relacionados
Encontre e classifique os pontos críticos da função
.
Ache os pontos críticos e mostre se são máximos, mínimos locais ou pontos de sela.
Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de
.
A integral
é imprópria e convergente;