Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo, além de identificar os valores máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta em termos de crescimento e decrescimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto.
Calculando cada termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes para determinar onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos usando esses pontos críticos: , e . Em cada intervalo, vamos escolher um valor de teste para ver se a derivada é positiva ou negativa.

Passo 5

Vamos verificar o sinal de em cada intervalo:
  1. Intervalo : Escolha
    Como , a função está decrescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo : Escolha
    Como , a função continua decrescendo nesse intervalo.
  3. Intervalo : Escolha
    Como , a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 6

Para encontrar os valores máximos e mínimos locais, observamos onde a derivada muda de sinal:
  • Em :
    • Antes de 0, é negativa.
    • Depois de 0, continua negativa.
    • Não há mudança de sinal, então não há máximo ou mínimo aqui.
  • Em :
    • Antes de 2, é negativa.
    • Depois de 2, é positiva.
    • Mudança de sinal de negativo para positivo, indicando um mínimo local em .
Para encontrar o valor do mínimo, substituímos na função original:

Resposta

A função está:
  • Decrescente nos intervalos e .
  • Crescente no intervalo .
Além disso, a função possui um mínimo local no ponto .

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Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de .
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