Ache os pontos na superfície que estão mais próximos da origem e determine a distância mínima.

Passo 1

Vamos resolver um problema de otimização onde precisamos encontrar os pontos na superfície que estão mais próximos da origem. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo como a função distância e multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância de um ponto à origem é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Como queremos minimizar essa distância, podemos simplificar o problema minimizando :

Passo 3

Temos uma restrição que os pontos devem satisfazer:
Isso significa que, ao minimizar , precisamos garantir que os pontos também cumpram essa equação.

Passo 4

Para resolver esse problema de otimização com restrição, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Introduzimos um multiplicador e formamos a função de Lagrange:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a , , e e igualar a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
Da equação (2):
Isso nos dá duas possibilidades:
Caso 1:
Substituindo na equação (4):
Das equações (1) e (3):
Mas como , podemos tentar encontrar valores específicos, porém vamos focar no próximo caso para simplificação.
Caso 2:
Substituindo nas equações (1) e (3):
Da relação , substituindo na equação :
Então, .
Agora, substituindo e na restrição (4):

Passo 7

Assim, os pontos que estão mais próximos da origem na superfície dada são:
A distância mínima desses pontos à origem é:

Resposta

Os pontos na superfície mais próximos da origem são e . A distância mínima até a origem é .

Exercícios relacionados

Ache os pontos da curva de intersecção do elipsóide com o plano 0 que estão mais próximos da origem e determine a distância mínima.
Em um triângulo com lados de tamanho e , vamos denotar por e os ângulos opostos respectivos.
Suponha que e . Encontre
Escreva as expressões abaixo utilizando apenas a função
Uma fábrica tem duas classificações para seus operários, A e B. Os operários da classe recebem por jornada e os da classe por jornada. Para um certo lote de produção, está determinado que se operários da classe A e y operários da classe B trabalharem, o custo do lote será de . Quantos operários de cada classe devem ser empregados, de tal forma que o custo do lote seja mínimo, se pelo menos três operários de cada classe são exigidos para a sua fabricação.