Ache os pontos da curva nos quais a tangente é horizontal.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os pontos da curva onde a tangente é horizontal. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto .
A função dada é:
Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante, como , é .
Então, a derivada é:

Passo 3

Para encontrar onde a tangente é horizontal, precisamos encontrar os valores de onde a derivada é igual a zero:
Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 12:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
onde , e .
Calculando o discriminante:
Então, as soluções são:
As duas soluções são:

Passo 5

Agora que temos os valores de onde a tangente é horizontal ( e ), vamos encontrar os correspondentes valores de substituindo esses na função original.
Para :
Para :

Resposta

Os pontos da curva onde a tangente é horizontal são e .

Exercícios relacionados

Determine a derivada de cada função dada a seguir, utilizando a definição de derivada:
Determine , a derivada da função em , em cada item abaixo e nos pontos indicados:
Seja dada por . Verifique se a reta é tangente ao gráfico de no ponto .
Seja a função dada por . Verifique se é derivável em