Ache os pontos da curva
nos quais a tangente é horizontal.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar os pontos da curva
onde a tangente é horizontal. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada
nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto
.
A função dada é:
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de uma constante, como
, é .
Então, a derivada
é:
Passo 3
Para encontrar onde a tangente é horizontal, precisamos encontrar os valores de
onde a derivada
é igual a zero:
Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 12:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Então, as soluções são:
As duas soluções são:
Passo 5
Agora que temos os valores de
onde a tangente é horizontal (
e
), vamos encontrar os correspondentes valores de
substituindo esses
na função original.
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos da curva onde a tangente é horizontal são
e
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada
de cada função
dada a seguir, utilizando a definição de derivada:
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados:
Seja
dada por
. Verifique se a reta
é tangente ao gráfico de
no ponto
.
Seja
a função dada por
. Verifique se
é derivável em