Determine a derivada de cada função dada a seguir, utilizando a definição de derivada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente como calcular a taxa de variação de uma função em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da razão de variação quando o incremento tende a zero:
Então, vamos aplicar isso na nossa função .

Passo 3

Substituímos na definição:
Agora, vamos simplificar a expressão .

Passo 4

Usando as propriedades das potências, temos:
Então, a expressão fica:
Fatoramos fora do numerador:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite:
Esse limite é conhecido e é igual ao logaritmo natural de , ou seja, .

Resposta

Portanto, a derivada de é:

Exercícios relacionados

Determine , a derivada da função em , em cada item abaixo e nos pontos indicados:
Seja . Verifique se é derivável em .
Ache os pontos da curva nos quais a tangente é horizontal.
Seja dada por . Verifique se a reta é tangente ao gráfico de no ponto .