Determine a derivada
de cada função
dada a seguir, utilizando a definição de derivada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente como calcular a taxa de variação de uma função em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da razão de variação quando o incremento
tende a zero:
Então, vamos aplicar isso na nossa função
.
Passo 3
Substituímos
na definição:
Agora, vamos simplificar a expressão
.
Passo 4
Usando as propriedades das potências, temos:
Então, a expressão fica:
Fatoramos
fora do numerador:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite:
Esse limite é conhecido e é igual ao logaritmo natural de
, ou seja,
.
Resposta
Portanto, a derivada de
é:
Exercícios relacionados
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados:
Seja
. Verifique se
é derivável em
.
Ache os pontos da curva
nos quais a tangente é horizontal.
Seja
dada por
. Verifique se a reta
é tangente ao gráfico de
no ponto
.