Seja dada por . Verifique se a reta é tangente ao gráfico de no ponto .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos verificar se a reta (que é o eixo ) é tangente ao gráfico de no ponto .
Conteúdo da matéria: Derivadas e tangência de curvas.
O que vamos precisar:
  • Conceito de derivada para encontrar a inclinação da tangente.
  • Verificar se a reta toca o gráfico de apenas no ponto e tem a mesma inclinação nesse ponto.

Passo 2

Vamos encontrar a derivada de . Para facilitar, note que pode ser escrita como:
Então, a função fica:

Passo 3

Vamos derivar em cada caso:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos verificar o comportamento da derivada no ponto . Observamos que:
Portanto, a derivada em é 0, o que indica que a inclinação da tangente é 0.

Passo 5

A reta tem inclinação 0 e passa pelo ponto . Como a derivada de em também é 0, a reta tem a mesma inclinação que a tangente ao gráfico de nesse ponto.

Resposta

Sim, a reta é tangente ao gráfico de no ponto .

Exercícios relacionados

Ache os pontos da curva nos quais a tangente é horizontal.
Determine a derivada de cada função dada a seguir, utilizando a definição de derivada:
Seja a função dada por . Verifique se é derivável em
Determine os valores de e de modo que a função definida por seja derivável em .