Seja
dada por
. Verifique se a reta
é tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos verificar se a reta
(que é o eixo
) é tangente ao gráfico de
no ponto
.
Conteúdo da matéria: Derivadas e tangência de curvas.
O que vamos precisar:
- Conceito de derivada para encontrar a inclinação da tangente.
- Verificar se a reta
toca o gráfico de apenas no ponto e tem a mesma inclinação nesse ponto.
Passo 2
Vamos encontrar a derivada de
. Para facilitar, note que
pode ser escrita como:
Então, a função
fica:
Passo 3
Vamos derivar
em cada caso:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos verificar o comportamento da derivada no ponto
. Observamos que:
Portanto, a derivada em
é 0, o que indica que a inclinação da tangente é 0.
Passo 5
A reta
tem inclinação 0 e passa pelo ponto
. Como a derivada de
em
também é 0, a reta
tem a mesma inclinação que a tangente ao gráfico de
nesse ponto.
Resposta
Sim, a reta
é tangente ao gráfico de
no ponto
.
Exercícios relacionados
Ache os pontos da curva
nos quais a tangente é horizontal.
Determine a derivada
de cada função
dada a seguir, utilizando a definição de derivada:
Seja
a função dada por
. Verifique se
é derivável em
Determine os valores de
e
de modo que a função definida por
seja derivável em
.