Seja
a função dada por
. Verifique se
é derivável em
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede pra gente verificar se a função
é diferenciável em
. Isso envolve conceitos de derivadas e continuidade. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona a derivada de uma função que envolve valor absoluto e ver se o limite das derivadas pela direita e pela esquerda em
existe e é igual.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. O valor absoluto
muda dependendo se
está acima ou abaixo de 2. Então, vamos dividir a função em dois casos:
-
Para
:
Aqui,porque o que está dentro do valor absoluto é positivo.
Assim,. -
Para
:
Nesse caso,porque o que está dentro do valor absoluto é negativo.
Então,.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
nos dois casos:
-
Para
:
A derivada deé . Então,
. -
Para
:
A derivada deé . Assim,
.
Passo 4
Vamos agora avaliar as derivadas nos limites quando
se aproxima de 2, tanto pela direita quanto pela esquerda.
-
Derivada pela direita (
):
Quandose aproxima de 2 por valores maiores que 2:
. -
Derivada pela esquerda (
):
Quandose aproxima de 2 por valores menores que 2:
.
Passo 5
Como as derivadas pela direita e pela esquerda em
são iguais e valem 0, isso significa que a derivada existe nesse ponto. Além disso, não há nenhum salto ou descontinuidade na função em
.
Resposta
A função
é diferenciável em
, e a derivada nesse ponto é 0.
Exercícios relacionados
Seja
dada por
. Verifique se a reta
é tangente ao gráfico de
no ponto
.
Ache os pontos da curva
nos quais a tangente é horizontal.
Determine os valores de
e
de modo que a função definida por
seja derivável em
.
Determinar os valores das constantes
e
para que a função
seja derivável em
.