Seja a função dada por . Verifique se é derivável em

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede pra gente verificar se a função é diferenciável em . Isso envolve conceitos de derivadas e continuidade. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona a derivada de uma função que envolve valor absoluto e ver se o limite das derivadas pela direita e pela esquerda em existe e é igual.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . O valor absoluto muda dependendo se está acima ou abaixo de 2. Então, vamos dividir a função em dois casos:
  1. Para :
    Aqui, porque o que está dentro do valor absoluto é positivo.
    Assim, .
  2. Para :
    Nesse caso, porque o que está dentro do valor absoluto é negativo.
    Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de nos dois casos:
  1. Para :

    A derivada de é . Então,
    .
  2. Para :

    A derivada de é . Assim,
    .

Passo 4

Vamos agora avaliar as derivadas nos limites quando se aproxima de 2, tanto pela direita quanto pela esquerda.
  1. Derivada pela direita ( ):

    Quando se aproxima de 2 por valores maiores que 2:
    .
  2. Derivada pela esquerda ( ):

    Quando se aproxima de 2 por valores menores que 2:
    .

Passo 5

Como as derivadas pela direita e pela esquerda em são iguais e valem 0, isso significa que a derivada existe nesse ponto. Além disso, não há nenhum salto ou descontinuidade na função em .

Resposta

A função é diferenciável em , e a derivada nesse ponto é 0.

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