Ache os pontos da curva y = x^3 - x^2 em que a tangente tem coeficiente angular igual a 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os pontos na curva onde a tangente tem inclinação igual a 1. Isso envolve cálculo de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva é dada pela derivada da função. Então, precisamos calcular a derivada de .

Passo 3

Usando as regras de derivação, derivamos cada termo separadamente:
Então, a derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 4

Queremos que a inclinação da tangente seja igual a 1. Portanto, vamos igualar a derivada a 1 e resolver para :
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver.

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para a forma padrão:
Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara para achar os valores de :
Então, temos duas soluções:

Passo 6

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de substituindo na equação original da curva .
Para :
Para :

Resposta

Os pontos da curva onde a tangente tem coeficiente angular igual a 1 são e .

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