Encontre a transformada de Laplace Inversa
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de
. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais e usar tabelas de transformadas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Observando que temos dois termos, vamos separá-los para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos focar no primeiro termo
. Para encontrar a transformada inversa, precisamos decompor essa fração em termos mais simples que a gente conhece a transformada. Isso é feito usando a decomposição em frações parciais.
Passo 4
Vamos supor que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 6
Agora, vamos escolher valores de
que simplificam a equação para encontrar os coeficientes:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 7
Agora, vamos escolher um valor de
diferente para encontrar
. Vamos usar
:
Passo 8
Então, nossa decomposição fica:
Passo 9
Agora, vamos tratar o segundo termo
. Fazendo a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Escolhendo valores de
para encontrar
e
:
- Para
: - Para
:
Passo 11
Então, a decomposição do segundo termo fica:
Passo 12
Agora, juntando tudo, temos:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 13
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Lembrando que:
Passo 14
Aplicando cada transformada:
Passo 15
Finalmente, somando tudo:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é:
Exercícios relacionados
Encontre a transformada de Laplace das funções que seguem:
Ache os pontos da curva
em que a tangente tem coeficiente angular igual a 1.
Encontre a transformada de Laplace das funções que seguem:
Encontre a transformada de Laplace Inversa