Encontre a transformada de Laplace Inversa F(s) = 2/(s^2(s+2)(s-1)) + 1/((s+2)(s-1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de . Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais e usar tabelas de transformadas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Observando que temos dois termos, vamos separá-los para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos focar no primeiro termo . Para encontrar a transformada inversa, precisamos decompor essa fração em termos mais simples que a gente conhece a transformada. Isso é feito usando a decomposição em frações parciais.

Passo 4

Vamos supor que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 6

Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação para encontrar os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora, vamos escolher um valor de diferente para encontrar . Vamos usar :

Passo 8

Então, nossa decomposição fica:

Passo 9

Agora, vamos tratar o segundo termo . Fazendo a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Escolhendo valores de para encontrar e :
  • Para :
  • Para :

Passo 11

Então, a decomposição do segundo termo fica:

Passo 12

Agora, juntando tudo, temos:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 13

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Lembrando que:

Passo 14

Aplicando cada transformada:

Passo 15

Finalmente, somando tudo:

Resposta

A transformada de Laplace inversa de é:

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