Encontre a transformada de Laplace das funções que seguem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a Transformada de Laplace da função
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções no tempo
para o domínio da frequência
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace aplicadas a funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do cosseno para facilitar o cálculo. Temos:
Usando a identidade trigonométrica de ângulo duplo:
Aplicando isso:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão de volta na função original
:
Podemos fatorar a constante
:
Passo 4
A seguir, vamos usar as fórmulas da Transformada de Laplace para funções exponenciais multiplicadas por senos e cossenos. As fórmulas são:
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Aplicando as fórmulas para cada termo da função
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, juntamos os resultados multiplicados pela constante
:
Passo 7
Finalmente, podemos simplificar a expressão somando os termos:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Ache os pontos da curva
em que a tangente tem coeficiente angular igual a 1.
Se
é a posição de um corpo móvel no instante
, ache tempo, posição e velocidade em cada momento em que a aceleração é nula. (Lembre-se a velocidade é a taxa com que a posição de um objeto se modifica com o tempo, e a aceleração é a taxa com que a velocidade se modifica pelo tempo).
Encontre a transformada de Laplace Inversa
Encontre a transformada de Laplace das funções que seguem: