Encontre a transformada de Laplace das funções que seguem: f(t) = e^(-t/2) cos(2(t - pi/8))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a Transformada de Laplace da função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções no tempo para o domínio da frequência . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace aplicadas a funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do cosseno para facilitar o cálculo. Temos:
Usando a identidade trigonométrica de ângulo duplo:
Aplicando isso:
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de volta na função original :
Podemos fatorar a constante :

Passo 4

A seguir, vamos usar as fórmulas da Transformada de Laplace para funções exponenciais multiplicadas por senos e cossenos. As fórmulas são:
No nosso caso, e .

Passo 5

Aplicando as fórmulas para cada termo da função :
Para :
Para :

Passo 6

Agora, juntamos os resultados multiplicados pela constante :

Passo 7

Finalmente, podemos simplificar a expressão somando os termos:
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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