Use a derivação implicita para determinar y''
x^3 + y = a^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para usar a derivação implícita e encontrar a segunda derivada de em relação a , ou seja, , a partir da equação .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivação implícita. É uma técnica usada quando está relacionada com de forma que não está isolada. Em vez de resolver em função de e depois derivar, derivamos diretamente ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma função de .

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :

Passo 4

Derivando termo a termo:
Aqui, representa a primeira derivada de em relação a .

Passo 5

Agora, vamos resolver para :

Passo 6

Para encontrar a segunda derivada , precisamos derivar em relação a :

Passo 7

Derivando :

Resposta

A segunda derivada de em relação a é .

Exercícios relacionados

Resolva os itens abaixo:
i) Indique se a série geométrica converge ou diverge. Se convergir, encontre sua soma.
a) sumk=0^infty 25^k b) sumk=1^infty (-1)^k 5^k2^k
Calcule as derivadas indicadas em cada caso:
y'' se y = x^2 - 1/x^2
Se s é a posição de um corpo móvel no instante t, ache tempo, posição e velocidade em cada momento em que a aceleração é nula. (Lembre-se a velocidade é a taxa com que a posição de um objeto se modifica com o tempo, e a aceleração é a taxa com que a velocidade se modifica pelo tempo).
s = 8 t^2 - 1/t
Ache os pontos da curva y = x^3 - x^2 em que a tangente tem coeficiente angular igual a 1.