Ache os pontos da curva nos quais a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos a curva definida pela função e precisamos encontrar os pontos onde a reta tangente a essa curva é horizontal. Para isso, vamos trabalhar com derivadas, que nos ajudam a determinar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

A primeira coisa a fazer é calcular a derivada da função em relação a . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto específico da curva. Vamos calcular:

Passo 3

Uma reta tangente é horizontal quando sua inclinação é zero. Ou seja, queremos encontrar os valores de para os quais a derivada é igual a zero:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática . Primeiro, podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Agora, vamos fatorar a equação:
Assim, as soluções são e .

Passo 5

Com os valores de encontrados, precisamos determinar os correspondentes valores de substituindo esses na função original:
Para :
Para :

Resposta

Os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal são e .

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Calcule as derivadas indicadas em cada caso:
Calcule
Simplifique:
Resolva a equação trigonométrica ou indique a solução: