Ache os pontos do parabolóide nos quais a reta normal à superfície coincide com a reta que liga a origem a esses pontos.

Passo 1

Vamos resolver o seguinte problema: Encontrar os pontos no parabolóide onde a reta normal à superfície é a mesma que a reta que liga a origem a esses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e geometria.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a reta normal à superfície em um ponto qualquer . Para isso, calculamos o gradiente da função que define o parabolóide. Reescrevendo a equação do parabolóide:
O gradiente de é dado por:
Então, o vetor normal à superfície em é .

Passo 3

Agora, queremos que a reta normal à superfície coincida com a reta que liga a origem ao ponto . A equação da reta que passa pela origem e pelo ponto pode ser escrita parametricamente como:
O vetor diretor dessa reta é .

Passo 4

Para que a reta normal coincida com a reta , os dois vetores devem ser paralelos. Isso significa que existe um escalar tal que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Analisando as equações:
  1. Da primeira equação: se , então .
  2. Da segunda equação: se , então .
  3. Da terceira equação: .
Igualando as duas expressões para :

Passo 6

Agora que sabemos que , substituímos esse valor na equação do parabolóide para encontrar e :
Isso significa que os pontos devem satisfazer e .

Resposta

Os pontos são todos os pontos do parabolóide onde .

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Determine as derivadas parciais indicadas.
.
Mostre que para uma função ter como curvas de níveis circunferências com centro na origem é necessário e suficiente que .
Ache a equação do plano tangente à superfície regular no ponto .