Ache os pontos do parabolóide
nos quais a reta normal à superfície coincide com a reta que liga a origem a esses pontos.
Passo 1
Vamos resolver o seguinte problema: Encontrar os pontos no parabolóide
onde a reta normal à superfície é a mesma que a reta que liga a origem a esses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e geometria.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a reta normal à superfície em um ponto qualquer
. Para isso, calculamos o gradiente da função que define o parabolóide. Reescrevendo a equação do parabolóide:
O gradiente de
é dado por:
Então, o vetor normal à superfície em
é
.
Passo 3
Agora, queremos que a reta normal à superfície coincida com a reta que liga a origem
ao ponto
. A equação da reta que passa pela origem e pelo ponto
pode ser escrita parametricamente como:
O vetor diretor dessa reta é
.
Passo 4
Para que a reta normal
coincida com a reta
, os dois vetores devem ser paralelos. Isso significa que existe um escalar
tal que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Analisando as equações:
- Da primeira equação: se
, então . - Da segunda equação: se
, então . - Da terceira equação:
.
Igualando as duas expressões para
:
Passo 6
Agora que sabemos que
, substituímos esse valor na equação do parabolóide para encontrar
e
:
Isso significa que os pontos devem satisfazer
e
.
Resposta
Os pontos são todos os pontos
do parabolóide onde
.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais indicadas.
.
Mostre que para uma função
ter como curvas de níveis circunferências com centro na origem é necessário e suficiente que
.
Ache a equação do plano tangente à superfície regular
no ponto
.