Determine as derivadas parciais indicadas.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar as derivadas parciais de terceira ordem
e
. Isso envolve calcular derivadas em relação às variáveis
,
e
, aplicando regras de derivação para funções de várias variáveis.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A derivada de
em relação a
é
multiplicada pela derivada de
em relação a
. Aqui,
.
Então:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Usando a mesma regra da cadeia:
Passo 4
Em seguida, derivamos
em relação a
para obter
.
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Passo 5
Vamos agora calcular
, a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 6
Derivando
em relação a
para obter
:
Passo 7
Finalmente, derivamos
em relação a
novamente para encontrar
:
Resposta
As derivadas parciais solicitadas são:
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Mostre que para uma função
ter como curvas de níveis circunferências com centro na origem é necessário e suficiente que
.
Mostre que a função definida por
é diferenciável para todo
, mas não é de classe
em
.
Ache os pontos do parabolóide
nos quais a reta normal à superfície coincide com a reta que liga a origem a esses pontos.