Determine as derivadas parciais indicadas.
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as derivadas parciais de terceira ordem e . Isso envolve calcular derivadas em relação às variáveis , e , aplicando regras de derivação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A derivada de em relação a é multiplicada pela derivada de em relação a . Aqui, .
Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar .
Usando a mesma regra da cadeia:

Passo 4

Em seguida, derivamos em relação a para obter .
Aplicando a regra da cadeia novamente:

Passo 5

Vamos agora calcular , a derivada parcial de em relação a .

Passo 6

Derivando em relação a para obter :

Passo 7

Finalmente, derivamos em relação a novamente para encontrar :

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:

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