Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular como
muda em relação a
e a
, mantendo a outra variável constante. Para resolver isso, precisamos saber sobre derivadas parciais e como lidar com funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função que temos é
. Aqui, temos um produto de duas funções de
:
e
. Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
- Derivada de
em relação a é 1. - Agora, derivamos
em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . - Derivando
em relação a , temos .
Então, a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, substituímos na regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
é considerado constante. A função é
.
Passo 6
A derivada de
em relação a
é direta. Usamos a regra da cadeia novamente:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e