Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
u = t e^(w / t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular como muda em relação a e a , mantendo a outra variável constante. Para resolver isso, precisamos saber sobre derivadas parciais e como lidar com funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função que temos é . Aqui, temos um produto de duas funções de : e . Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
  1. Derivada de em relação a é 1.
  2. Agora, derivamos em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
  3. Derivando em relação a , temos .
Então, a derivada de é .

Passo 4

Agora, substituímos na regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, é considerado constante. A função é .

Passo 6

A derivada de em relação a é direta. Usamos a regra da cadeia novamente:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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