Mostre que para uma função ter como curvas de níveis circunferências com centro na origem é necessário e suficiente que .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos demonstrar que, para uma função ter como curvas de níveis circunferências com centro na origem, é necessário e suficiente que . Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis e suas curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Para uma função , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde , sendo uma constante. No nosso caso, queremos que essas curvas sejam circunferências com centro na origem, ou seja, da forma .

Passo 3

Vamos supor que as curvas de nível de são circunferências com centro na origem: implica . Diferenciando ambos os lados dessa igualdade, temos:
Dividindo por 2:

Passo 4

A derivada total de também pode ser expressa usando derivadas parciais:
Comparando com a equação anterior , temos:
onde é uma função qualquer.

Passo 5

Se dividirmos as duas expressões, obtemos:
Multiplicando ambos os lados por :
Isso mostra que, se as curvas de nível são circunferências com centro na origem, então .

Passo 6

Agora, vamos provar a conversão. Suponha que . Podemos rearranjar essa equação:
Isso implica que a derivada direcional de na direção tangente à circunferência é igual à derivada radial, o que caracteriza as curvas de nível sendo circunferências com centro na origem.

Resposta

Portanto, mostramos que é uma condição necessária e suficiente para que as curvas de nível de sejam circunferências com centro na origem.

Exercícios relacionados

Mostre que a função definida por
é diferenciável para todo , mas não é de classe em .
Considere a integral:
onde é a região definida por e .
4a
Resolva a integral utilizando coordenadas cilíndricas.
Determine as derivadas parciais indicadas.
.
Ache os pontos do parabolóide nos quais a reta normal à superfície coincide com a reta que liga a origem a esses pontos.