Mostre que para uma função
ter como curvas de níveis circunferências com centro na origem é necessário e suficiente que
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos demonstrar que, para uma função
ter como curvas de níveis circunferências com centro na origem, é necessário e suficiente que
. Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis e suas curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Para uma função
, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde
, sendo
uma constante. No nosso caso, queremos que essas curvas sejam circunferências com centro na origem, ou seja, da forma
.
Passo 3
Vamos supor que as curvas de nível de
são circunferências com centro na origem:
implica
. Diferenciando ambos os lados dessa igualdade, temos:
Dividindo por 2:
Passo 4
A derivada total de
também pode ser expressa usando derivadas parciais:
Comparando com a equação anterior
, temos:
onde
é uma função qualquer.
Passo 5
Se dividirmos as duas expressões, obtemos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso mostra que, se as curvas de nível são circunferências com centro na origem, então
.
Passo 6
Agora, vamos provar a conversão. Suponha que
. Podemos rearranjar essa equação:
Isso implica que a derivada direcional de
na direção tangente à circunferência
é igual à derivada radial, o que caracteriza as curvas de nível sendo circunferências com centro na origem.
Resposta
Portanto, mostramos que
é uma condição necessária e suficiente para que as curvas de nível de
sejam circunferências com centro na origem.
Exercícios relacionados
Mostre que a função definida por
é diferenciável para todo
, mas não é de classe
em
.
Considere a integral:
onde
é a região definida por
e
.
4a
Resolva a integral utilizando coordenadas cilíndricas.
4a
Resolva a integral utilizando coordenadas cilíndricas.
Determine as derivadas parciais indicadas.
.
Ache os pontos do parabolóide
nos quais a reta normal à superfície coincide com a reta que liga a origem a esses pontos.