Mostre que para uma função f(x, y) ter como curvas de níveis circunferências com centro na origem é necessário e suficiente que x partial fpartial y=y partial fpartial x.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos demonstrar que, para uma função ter como curvas de níveis circunferências com centro na origem, é necessário e suficiente que . Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis e suas curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Para uma função , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde , sendo uma constante. No nosso caso, queremos que essas curvas sejam circunferências com centro na origem, ou seja, da forma .

Passo 3

Vamos supor que as curvas de nível de 2x dx + 2y dy = 0 são circunferências com centro na origem: x dx + y dy = 0 implica . Diferenciando ambos os lados dessa igualdade, temos:
Dividindo por 2:

Passo 4

A derivada total de partial fpartial x dx + partial fpartial y dy = 0 também pode ser expressa usando derivadas parciais:
partial fpartial x = lambda x e partial fpartial y = lambda y
Comparando com a equação anterior , temos:
onde é uma função qualquer.

Passo 5

Se dividirmos as duas expressões, obtemos:
partial fpartial y = yx partial fpartial x
Multiplicando ambos os lados por x partial fpartial y = y partial fpartial x :
Isso mostra que, se as curvas de nível são circunferências com centro na origem, então .

Passo 6

Agora, vamos provar a conversão. Suponha que partial fpartial y / partial fpartial x = yx . Podemos rearranjar essa equação:
Isso implica que a derivada direcional de na direção tangente à circunferência é igual à derivada radial, o que caracteriza as curvas de nível sendo circunferências com centro na origem.

Resposta

Portanto, mostramos que é uma condição necessária e suficiente para que as curvas de nível de sejam circunferências com centro na origem.

Exercícios relacionados