Ache os pontos do plano pi: y=x que equidistam dos pontos A=(1,1,0) e B=(0,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos no plano pi: y = x que estão à mesma distância dos pontos A = (1, 1, 0) e B = (0, 1, 1). Vamos usar a matéria de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula da distância e entender as equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Se temos dois pontos P = (x, y, z) e Q = (x', y', z'), a distância entre eles é dada por:
d(P, Q) = raiz(x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar todos os pontos P = (x, y, z) no plano pi: y = x que satisfazem d(P, A) = d(P, B). Como o ponto P está no plano pi, sabemos que y = x. Então, podemos substituir y por x na nossa equação.

Passo 4

Aplicando a fórmula da distância, temos:
raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = raiz(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2
Como y = x, podemos substituir:
raiz(x - 1)^2 + (x - 1)^2 + z^2 = raizx^2 + (x - 1)^2 + (z - 1)^2

Passo 5

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(x - 1)^2 + (x - 1)^2 + z^2 = x^2 + (x - 1)^2 + (z - 1)^2

Passo 6

Agora, vamos expandir os termos:
(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1) + z^2 = x^2 + (x^2 - 2x + 1) + (z^2 - 2z + 1)

Passo 7

Somando os termos semelhantes:
2x^2 - 4x + 2 + z^2 = 2x^2 - 2x + 1 + z^2 - 2z + 1

Passo 8

Simplificando ambos os lados:
2x^2 - 4x + 2 + z^2 = 2x^2 - 2x + z^2 - 2z + 2

Passo 9

Vamos eliminar termos iguais dos dois lados. Subtraindo 2x^2, z^2 e 2 de ambos os lados:
-4x = -2x - 2z

Passo 10

Agora, vamos resolver para z:
-4x + 2x = -2z -2x = -2z z = x

Passo 11

Então, encontramos que z = x. Como já sabemos que y = x no plano pi, os pontos que satisfazem as condições são da forma (x, x, x).

Resposta

Os pontos do plano pi: y = x que estão à mesma distância de A = (1, 1, 0) e B = (0, 1, 1) são todos os pontos da forma (x, x, x), onde x é qualquer número real.

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