Ache os pontos do plano
que equidistam dos pontos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos no plano
que estão à mesma distância dos pontos
e
. Vamos usar a matéria de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula da distância e entender as equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Se temos dois pontos
e
, a distância entre eles é dada por:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar todos os pontos
no plano
que satisfazem
. Como o ponto
está no plano
, sabemos que
. Então, podemos substituir
por
na nossa equação.
Passo 4
Aplicando a fórmula da distância, temos:
Como
, podemos substituir:
Passo 5
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 6
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 7
Somando os termos semelhantes:
Passo 8
Simplificando ambos os lados:
Passo 9
Vamos eliminar termos iguais dos dois lados. Subtraindo
,
e
de ambos os lados:
Passo 10
Agora, vamos resolver para
:
Passo 11
Então, encontramos que
. Como já sabemos que
no plano
, os pontos que satisfazem as condições são da forma
.
Resposta
Os pontos do plano
que estão à mesma distância de
e
são todos os pontos da forma
, onde
é qualquer número real.
Exercícios relacionados
Calcule a distância entre os planos
Calcule a distância do ponto
ao plano
tal que
e
. Determine o ponto
simétrico a
em relação ao plano
.
Sejam
e
. Determine um ponto
da reta
tal que a área do triângulo
seja 12, onde
e
.
Resposta: ou
Resposta:
Seja a transformação linear
e as bases
e
. Determinar
Qual a matriz
, onde C é a base canônica do
?