Seja a transformação linear e as bases e . Determinar Qual a matriz , onde C é a base canônica do ?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Além disso, temos duas bases: para e para . A gente precisa descobrir a matriz da transformação nas bases e , ou seja, , e também a matriz , onde é a base canônica de .
Para resolver isso, vamos precisar entender como representamos transformações lineares em diferentes bases e como mudar de uma base para outra. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, pega um vetor no espaço e o transforma em um vetor no espaço de maneira que preserve as operações de adição e multiplicação por escalar.
As bases e são conjuntos de vetores que utilizamos para “anotar” os vetores nos respectivos espaços. A matriz representa como age nos vetores da base e como esses vetores se expressam na base .
Passo 3
Vamos começar encontrando . Para isso, precisamos seguir alguns passos:
Expressar os vetores da base no espaço : São e .
Aplicar a transformação em cada vetor da base :
Expressar os vetores resultantes e na base :
Isso significa que queremos encontrar coordenadas e , ou seja, como esses vetores podem ser escritos como combinações lineares dos vetores da base .
A base é composta por:
Temos que resolver para cada , onde são coeficientes que queremos encontrar.
Resolver o sistema de equações para cada :
Vamos fazer para :
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de .
Depois, repetimos o mesmo processo para .
Montar a matriz com os coeficientes encontrados:
Cada coluna da matriz será composta pelos coeficientes .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz , onde é a base canônica de .
A base canônica é simplesmente:
Para encontrar , seguimos um processo similar:
Aplicar aos vetores da base : Já fizemos isso no Passo 3.
Expressar os vetores e na base canônica :
Na base canônica, os vetores já estão expressos diretamente, então: