Seja a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^3, T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-2 y) e as bases A=(-1,1),,(2,1) e B=(0,0,1),(0,1,-1),(1,1,0). Determinar [T]B^A cdot Qual a matriz [T]C^A, onde C é a base canônica do R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Além disso, temos duas bases: para e para . A gente precisa descobrir a matriz da transformação nas bases e , ou seja, , e também a matriz , onde é a base canônica de .
Para resolver isso, vamos precisar entender como representamos transformações lineares em diferentes bases e como mudar de uma base para outra. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, pega um vetor no espaço e o transforma em um vetor no espaço de maneira que preserve as operações de adição e multiplicação por escalar.
As bases e são conjuntos de vetores que utilizamos para “anotar” os vetores nos respectivos espaços. A matriz representa como age nos vetores da base e como esses vetores se expressam na base .

Passo 3

Vamos começar encontrando b1 = (0,0,1), b2 = (0,1,-1), b3 = (1,1,0) . Para isso, precisamos seguir alguns passos:
  1. Expressar os vetores da base 0c1 + 0c2 + 1c3 = -3 0c1 + 1c2 + 1c3 = 2 1c1 -1c2 + 0c3 = -2 no espaço : São e .
  2. Aplicar a transformação em cada vetor da base :
  3. Expressar os vetores resultantes e na base :
    Isso significa que queremos encontrar coordenadas e , ou seja, como esses vetores podem ser escritos como combinações lineares dos vetores da base .
    A base é composta por:
    Temos que resolver para cada , onde são coeficientes que queremos encontrar.
  4. Resolver o sistema de equações para cada :
    Vamos fazer para :
    Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de .
    Depois, repetimos o mesmo processo para .
  5. Montar a matriz com os coeficientes encontrados:
    Cada coluna da matriz será composta pelos coeficientes .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) , onde [T(v1)]C = -3 2 -2 , [T(v2)]C = 3 5 -2 é a base canônica de [T]C^A = -3 & 3 2 & 5 -2 & -2 .
A base canônica é simplesmente:
Para encontrar , seguimos um processo similar:
  1. Aplicar aos vetores da base : Já fizemos isso no Passo 3.
  2. Expressar os vetores e na base canônica :
    Na base canônica, os vetores já estão expressos diretamente, então:
  3. Montar a matriz com esses vetores como colunas:

Resposta

A matriz [T]B^A = -2 & 1 1 & 2 1 & 1 é:
[T]C^A = -3 & 3 2 & 5 -2 & -2
E a matriz é:

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