Sejam e . Determine um ponto da reta tal que a área do triângulo seja 12, onde e .
Resposta: ou

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois pontos e . Precisamos encontrar um ponto na reta que passa por e , ou seja, na reta , de modo que a área do triângulo , onde e , seja igual a 12. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como a equação de uma reta e a fórmula da área de um triângulo definido por três pontos no espaço.

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação paramétrica da reta . Uma reta no espaço pode ser representada por um ponto inicial e um vetor diretor. O vetor diretor pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de menos as de :
Então, a equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
onde é um parâmetro real.

Passo 3

O ponto está na reta , então suas coordenadas podem ser expressas em função de :

Passo 4

Agora, precisamos calcular a área do triângulo em termos de e igualar a 12 para encontrar os valores de .
A área de um triângulo definido por três pontos , , no espaço pode ser calculada usando a fórmula:
Á
Onde e são vetores que ligam a e a , respectivamente, e representa o produto vetorial.

Passo 5

Vamos calcular os vetores e :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:

Passo 7

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área do triângulo.
Simplificando os termos dentro da raiz:
Somando os termos semelhantes:
Podemos fatorar 36:

Passo 8

A área do triângulo é dada por:
Á
Segundo o enunciado, essa área deve ser igual a 12:

Passo 9

Vamos resolver para :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 10

Agora, vamos resolver essa equação quadrática em :
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , , :
Então, as duas soluções são:

Passo 11

Agora, vamos substituir os valores de na equação de para encontrar as coordenadas de :
Para :
Para :

Resposta

As coordenadas do ponto que satisfazem a condição são:

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