Sejam P=(2,1,-1) e Q=(0,-1,0). Determine um ponto C da reta P Q tal que a área do triângulo A B C seja 12, onde A=(0,3,0) e B=(6,3,3).
Resposta: C=(4,3,-2) ou C=(49,-59,-29)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois pontos e . Precisamos encontrar um ponto na reta que passa por e , ou seja, na reta , de modo que a área do triângulo , onde e , seja igual a 12. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como a equação de uma reta e a fórmula da área de um triângulo definido por três pontos no espaço.

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação paramétrica da reta PQ = Q - P = (0 - 2, -1 - 1, 0 - (-1)) = (-2, -2, 1) . Uma reta no espaço pode ser representada por um ponto inicial e um vetor diretor. O vetor diretor pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de x = 2 - 2t, y = 1 - 2t, z = -1 + t menos as de :
Então, a equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
onde é um parâmetro real.

Passo 3

O ponto C(t) = (2 - 2t, 1 - 2t, -1 + t) está na reta , então suas coordenadas podem ser expressas em função de :

Passo 4

Agora, precisamos calcular a área do triângulo Área = 12 | AB times AC | em termos de e igualar a 12 para encontrar os valores de .
A área de um triângulo definido por três pontos , , no espaço pode ser calculada usando a fórmula:
Á
Onde e são vetores que ligam a e a , respectivamente, e representa o produto vetorial.

Passo 5

Vamos calcular os vetores AB = B - A = (6 - 0, 3 - 3, 3 - 0) = (6, 0, 3) e AC = C - A = ( (2 - 2t) - 0, (1 - 2t) - 3, (-1 + t) - 0 ) = (2 - 2t, -2 - 2t, -1 + t) :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial AB times AC = i & j & k 6 & 0 & 3 2 - 2t & -2 - 2t & -1 + t :
AB times AC = i ( 0 cdot (-1 + t) - 3 cdot (-2 - 2t) ) - j ( 6 cdot (-1 + t) - 3 cdot (2 - 2t) ) + k ( 6 cdot (-2 - 2t) - 0 cdot (2 - 2t) )
Calculando o determinante:
= i ( 0 + 6 + 6t ) - j ( -6 + 6t - 6 + 6t ) + k ( -12 -12t )
Simplificando cada componente:
= i (6 + 6t) - j (-12 + 12t) + k (-12 - 12t)
= (6 + 6t)i + (12 - 12t)j + (-12 - 12t)k

Passo 7

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área do triângulo.
| AB times AC | = raiz(6 + 6t)^2 + (12 - 12t)^2 + (-12 - 12t)^2
Simplificando os termos dentro da raiz:
= raiz(36 + 72t + 36t^2) + (144 - 288t + 144t^2) + (144 + 288t + 144t^2)
Somando os termos semelhantes:
= raiz36 + 144 + 144 + 72t - 288t + 288t + 36t^2 + 144t^2 + 144t^2
= raiz324 + 72t + 324t^2
= raiz324t^2 + 72t + 324
Podemos fatorar 36:
= raiz36(9t^2 + 2t + 9) = 6raiz9t^2 + 2t + 9

Passo 8

A área do triângulo Área = 12 | AB times AC | = 12 cdot 6raiz9t^2 + 2t + 9 = 3raiz9t^2 + 2t + 9 é dada por:
3raiz9t^2 + 2t + 9 = 12 Á
Segundo o enunciado, essa área deve ser igual a 12:

Passo 9

Vamos resolver para raiz9t^2 + 2t + 9 = 123 = 4 :
9t^2 + 2t + 9 = 16
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
9t^2 + 2t + 9 - 16 = 0
9t^2 + 2t - 7 = 0

Passo 10

Agora, vamos resolver essa equação quadrática em 9t^2 + 2t - 7 = 0 :
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Usamos a fórmula de Bhaskara:
t = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 9 cdot (-7)2 cdot 9
Onde t = -2 pm raiz4 + 25218 , t = -2 pm raiz25618 , t = -2 pm 1618 :
t = -2 + 1618 = 1418 = 79
t = -2 - 1618 = -1818 = -1
Então, as duas soluções são:

Passo 11

Agora, vamos substituir os valores de C = (2 - 2 cdot 79, 1 - 2 cdot 79, -1 + 79) = (189 - 149, 99 - 149, -99 + 79) = (49, -59, -29) na equação de C = (2 - 2 cdot (-1), 1 - 2 cdot (-1), -1 + (-1)) = (2 + 2, 1 + 2, -1 -1) = (4, 3, -2) para encontrar as coordenadas de :
Para :
Para :

Resposta

As coordenadas do ponto C = (4, 3, -2) ou C = (49, -59, -29) que satisfazem a condição são:

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