Sejam e . Determine um ponto da reta tal que a área do triângulo seja 12, onde e .
Resposta: ou
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois pontos e . Precisamos encontrar um ponto na reta que passa por e , ou seja, na reta , de modo que a área do triângulo , onde e , seja igual a 12. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como a equação de uma reta e a fórmula da área de um triângulo definido por três pontos no espaço.
Passo 2
Vamos começar encontrando a equação paramétrica da reta . Uma reta no espaço pode ser representada por um ponto inicial e um vetor diretor. O vetor diretor pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de menos as de :
Então, a equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
onde é um parâmetro real.
Passo 3
O ponto está na reta , então suas coordenadas podem ser expressas em função de :
Passo 4
Agora, precisamos calcular a área do triângulo em termos de e igualar a 12 para encontrar os valores de .
A área de um triângulo definido por três pontos , , no espaço pode ser calculada usando a fórmula:
Onde e são vetores que ligam a e a , respectivamente, e representa o produto vetorial.
Passo 5
Vamos calcular os vetores e :
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Passo 7
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área do triângulo.
Simplificando os termos dentro da raiz:
Somando os termos semelhantes:
Podemos fatorar 36:
Passo 8
A área do triângulo é dada por:
Á
Segundo o enunciado, essa área deve ser igual a 12:
Passo 9
Vamos resolver para :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 10
Agora, vamos resolver essa equação quadrática em :
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , , :
Então, as duas soluções são:
Passo 11
Agora, vamos substituir os valores de na equação de para encontrar as coordenadas de :
Para :
Para :
Resposta
As coordenadas do ponto que satisfazem a condição são: