Calcule a distância entre os planos
pi1: x+y+z=4 е pi2: 2 x+2 y+2 z=5 е

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre dois planos. A gente vai usar um conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre planos paralelos. Primeiro, vamos identificar as equações dos planos:
pi1: x + y + z = 4
pi2: 2x + 2y + 2z = 5
Pra resolver, a gente precisa verificar se esses planos são paralelos e, se forem, aplicar a fórmula da distância entre planos paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os vetores normais deles forem múltiplos escalares um do outro. O vetor normal de um plano da forma Ax + By + Cz = D é (A, B, C).
Para pi1, o vetor normal é (1, 1, 1).
Para pi2, o vetor normal é (2, 2, 2).
Perceba que (2, 2, 2) é igual a 2 times (1, 1, 1), ou seja, os vetores normais são múltiplos escalares. Isso mostra que os planos são paralelos.

Passo 3

Agora que sabemos que os planos são paralelos, podemos usar a fórmula para calcular a distância D entre eles. Se tivermos dois planos paralelos:
pi1: Ax + By + Cz = D1
pi2: Ax + By + Cz = D2
A distância entre eles é dada por:
D = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula aos nossos planos. Mas primeiro, é mais fácil se colocarmos as equações dos planos com os mesmos coeficientes para x, y e z. Podemos simplificar a equação de pi2 dividindo todos os termos por 2:
pi2: x + y + z = 52
Agora, temos:
pi1: x + y + z = 4
pi2: x + y + z = 52

Passo 5

Identificando os valores na fórmula:
  • A = 1, B = 1, C = 1
  • D1 = 4
  • D2 = 52
Substituindo na fórmula da distância:
D = | 52 - 4 |raiz1^2 + 1^2 + 1^2

Passo 6

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Primeiro, o numerador:
| 52 - 4 | = | 52 - 82 | = | -32 | = 32
Agora, o denominador:
raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Passo 7

Agora, juntando tudo:
D = 32raiz3 = 32raiz3
Podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por raiz3:
D = 3raiz32 times 3 = raiz32

Resposta

A distância entre os planos é raiz32 unidades.

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