Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre dois planos. A gente vai usar um conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre planos paralelos. Primeiro, vamos identificar as equações dos planos:
Pra resolver, a gente precisa verificar se esses planos são paralelos e, se forem, aplicar a fórmula da distância entre planos paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os vetores normais deles forem múltiplos escalares um do outro. O vetor normal de um plano da forma é .
Para , o vetor normal é .
Para , o vetor normal é .
Perceba que é igual a , ou seja, os vetores normais são múltiplos escalares. Isso mostra que os planos são paralelos.
Passo 3
Agora que sabemos que os planos são paralelos, podemos usar a fórmula para calcular a distância entre eles. Se tivermos dois planos paralelos:
A distância entre eles é dada por:
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula aos nossos planos. Mas primeiro, é mais fácil se colocarmos as equações dos planos com os mesmos coeficientes para , e . Podemos simplificar a equação de dividindo todos os termos por 2:
Agora, temos:
Passo 5
Identificando os valores na fórmula:
, ,
Substituindo na fórmula da distância:
Passo 6
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Primeiro, o numerador:
Agora, o denominador:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por :