Calcule a distância entre os planos
е

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre dois planos. A gente vai usar um conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre planos paralelos. Primeiro, vamos identificar as equações dos planos:
Pra resolver, a gente precisa verificar se esses planos são paralelos e, se forem, aplicar a fórmula da distância entre planos paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os vetores normais deles forem múltiplos escalares um do outro. O vetor normal de um plano da forma é .
Para , o vetor normal é .
Para , o vetor normal é .
Perceba que é igual a , ou seja, os vetores normais são múltiplos escalares. Isso mostra que os planos são paralelos.

Passo 3

Agora que sabemos que os planos são paralelos, podemos usar a fórmula para calcular a distância entre eles. Se tivermos dois planos paralelos:
A distância entre eles é dada por:

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula aos nossos planos. Mas primeiro, é mais fácil se colocarmos as equações dos planos com os mesmos coeficientes para , e . Podemos simplificar a equação de dividindo todos os termos por 2:
Agora, temos:

Passo 5

Identificando os valores na fórmula:
  • , ,
Substituindo na fórmula da distância:

Passo 6

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Primeiro, o numerador:
Agora, o denominador:

Passo 7

Agora, juntando tudo:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por :

Resposta

A distância entre os planos é unidades.

Exercícios relacionados

Calcule a distância do ponto ao plano tal que e . Determine o ponto simétrico a em relação ao plano .
Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
as assíntotas , e um ponto da hipérbole .
Ache os pontos do plano que equidistam dos pontos .
Sejam e . Determine um ponto da reta tal que a área do triângulo seja 12, onde e .
Resposta: ou